شرح وتهيئة وتحضير درس الاحتمالات للصف الثاني الثانوي الفصل الدراسي الثاني, سنشرح اليوم تمثيل فضاء العينة والاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق, والاحتمال الهندسي, واحتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة, واحتمالات الحوادث المتنافية, وسنقوم بحل العديد من التمارين والامثلة لتصبح جميع الافكار سهلة وبسيطة لجميع الطلاب.

تمثيل فضاء العينة

فضاء العيِّنة لتجربة ما هو مجموعة جميع النواتج الممكنة، ويمكن تمثيله باستعمال القائمة المنظمة، أو الجدول، أو الرسم الشجري.

التجارب التي تحتوي على أكثر من مرحلتين تسمى تجارب متعددة المراحل.

قد لا يكون تسجيل جميع نواتج فضاء العيِّنة في التجارب ذات المرحلتين أو المتعددة المراحل عمليا أو ضروريا. لذا يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة.
يمكن إيجاد عدد النواتج الممكنة لفضاء العينة بضرب عدد النواتج الممكنة في كل مرحلة من مراحل التجربة.

الاســـم:	مبدء-العد.jpg
المشاهدات: 4585
الحجـــم:	17.6 كيلوبايت

كل صنف سنقوم باختياره بعدد البدائل, وسنضرب البدائل ببعضها لنجد عدد النتائج الممكنة
8x4x6x12x9=20736

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق

يُكتب مضروب العدد الصحيح الموجب n على الصورة !n, ويساوي حاصل ضرب جميع الاعداد الصحيحة الموجبة التي هي اصغر من أو تساوي n.
n!=n(n-1)(n-2).....2.1

يرمز الى عدد تباديل n من العناصر المختلفة ماخودة r في كل مرة بالرمز nPr حيث:
`(n!)/((n-r)!)`=nPr

عدد التباديل المختلفة لعناصر عددها n عندما يتكرر عنصر منها r1 من المرات وآخر r2 من المرات وهكذا ....., فإنه يساوي:
`(n!)/(r1!.r2!....rk!)`

التباديل الدائرية: عدد التباديل المختلفة لـn من العناصر مرتبة على دائرة يساوي:
!(n-1)=`(n!)/(n)`

التوافيق: هي اختيار مجموعة من العناصر بحيث يكون الترتيب فيها غير مهم.
يرمز إلى عدد توافيق n من العناصر المختلفة ماخودة r في كل مرة بالرمز nCr حيث:
`(n!)/(r!.(n-r)!)`= nCr

مثال: يتكون عدد من الأرقام 5٫6٫6٫3٫3٫3٫1 . ما احتمال أن يكون هذا العدد 5663133 ؟
بما ان 6 مكررة مرتين و 3 مكررة ثلاث مرات فإننا سنستخدم التباديل مع التكرار.
عدد الارقام 7
420=`(7!)/(2!.3!)`
احتمال ان يكون العدد المحدد هو `(1)/(420)`

مثال: تعرض جماعة النادي العلمي البالغ عدد أفرادها 40 طالبا في مدرسة ثانوية تجارب علمية، إذا اختير ثلاثة طلاب من الجماعة عشوائيا. فما احتمال أن يتم اختيار عبد المجيد للإشراف على تجارب الفيزياء، وزيد للإشراف على تجارب الكيمياء، ومحمود للإشراف على تجارب الأحياء؟
سنلاحظ في هذه المسألة أن الترتيب مهم, حيث يجب ان يكون كل شخص في مكان ما, لذلك سنستخدم التراتيب.
`(40!)/(37!)`=40P3
40P3=59280
ومنه يكون الاحتمال المطلوب للطلاب المُحددين هو `(1)/(59280)`

مثال: اشترك 15 طالبا من الصف الثاني الثانوي في مسابقة ثقافية. إذا اختير منهم 4 طلاب عشوائيا, فما احتمال أن يكونوا: ماجد وعبدالعزيز وخالد وفوزي.
لاحظ ان اختيار 4 طلاب عشوائي ولا يوجد اماكن محددة ولا شروط, لذلك الترتيب غير مهم لذلك سنستخدم التوافيق.
`(15!)/(4!.11!)`=15C4
15C4=1365
لذا فإن الاحتمال المطلوب هو `(1)/(1365)`

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الاحتمال الهندسي

يسمى الاحتمال الذي يتضمن قياساً هندسياً مثل الطول أو المساحة احتمالاً هندسياً.

الاســـم:	الاحتمال-الاطو&#15.jpg
المشاهدات: 5574
الحجـــم:	25.6 كيلوبايت

تتضمن الاحتمالات الهندسية حساب المساحات أيضاً. وفيما يأتي كيفية حساب الاحتمال الهندسي المتضمن مساحة.

الاســـم:	الاحتمال-المسا&#15.jpg
المشاهدات: 5341
الحجـــم:	26.7 كيلوبايت

يمكنك أيضاً استعمال قياس الزاوية لإيجاد الاحتمال الهندسي.
إن نسبة مساحة قطاع في دائرة إلى مساحة الدائرة الكلية كنسبة قياس زاوية القطاع
المركزية (°x) إلى ° 360 ، وعليه فإنه إذا اختيرت نقطة عشوائياً داخل الدائرة فإن احتمال وقوعها داخل القطاع يساوي `(x)/(360)`

الاســـم:	احتمال-هندسي.jpg
المشاهدات: 4667
الحجـــم:	42.6 كيلوبايت

المثال الاول: باستخدام قاعدة الاحتمال والاطوال, سنجد ان احتمال ان تقع X على BD يساوي `(1)/(2)`=`(5)/(10)`
واحتمال ان تقع X على BC يساوي `(3)/(10)`
المثال الثاني: باستخدام قاعدة الاحتمال والمساحة, سنجد ان احتمال ان يصيب الهداف نقطة في الدائرة الصغرى التي نصف قطرها 12.2 هو
مساحة الدائرة الصغرى=πx(12.2)2
=467.357 تقريباً
مساحة الدائرة الكبرى=πx(122)2
=46735.7 تقريباً
ومنه الاحتمال يكون `(1)/(100)`= `(467.357)/(46735.7)`
المثال الثالث: قياس الزاوية المطلوبة 45, ومنه يكون الاحتمال `(45)/(360)`=0.125

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة

تتكون الحادثة المركبة من حادثتين بسيطتين أو أكثر.

-تكون A و B حادثتين مستقلتين إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث B.
-تكون A و B حادثتين غير مستقلتين إذا كان احتمال حدوث A يغير بطريقة ما احتمال حدوث B.

احتمال وقوع حادثتين مستقلتين معاً يساوي حاصل ضرب احتمالي الحادثتين, بمعنى:
اذا كانت الحادثتين A و B مستقلتين فإن: (P(A∩B)=P(A).P(B.

احتمال وقوع حادثتين غير مستقلتين معاً يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحادثة الأولى في احتمال وقوع الحادثة الثانية بعد وقوع الاولى فعلاً, بمعنى:
اذا كانت الحادثتين A و B غير مستقلتين فإن: (P(A∩B)=P(A).P(B\A

يقرأ الرمز (P(B\A احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A أولاً وهذا يسمى الاحتمال المشروط، ويمكنك استعمال الرسم الشجري مع الاحتمالات، وتسمى شجرة الاحتمال.

يمكنك إيجاد احتمال وقوع حادثة مشروطة، وذلك بإعطاء معلومات إضافية عن وقوع حادثة أخرى.

الاحتمال المشروط لـB اذا وقع A هو `(P(A∩B))/(P(A))`=(P(B\A

مثال: يحتوي صندوق على 20 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات متساوية لكلٍّ منها لون من الألوان الآتية: الأحمر، والأسود، والأخضر، والأزرق. سحبت بطاقة واحدة عشوائياً من الصندوق، ثمُ أعيدت إليه، وبعد ذلك سحبت بطاقة ثانية. ما احتمال اختيار بطاقة حمراء في المرتين؟
بما انه تم اعادة البطاقة فلن تتأثر التجربة الثانية بالتجربة الاولى, لذلك الحدثين A و B مستقلين, وبما ان الصندوق يحتوي اربعة مجموعات متساوية فإن كل مجموعة مكونة من 5 بطاقات, ومنه
(P(A∩B)=P(A).P(B
`(5)/(20)`.`(5)/(20)`=(P(A∩B
`(1)/(16)`=(P(A∩B

مثال: في جيب عبد السلام 3 أوراق نقدية من فئة 5 ريالات، و 7 أوراق من فئة 10 ريالات، ما احتمال أن يسحب عبد السلام عشوائيا ورقتين على التوالي من فئة 5 ريالات على فرض أن فرص حصول الحوادث متساوية.
بما انه لن يعيد الورقة فإن التجربة الاولى ستؤثر على التجربة الثانية, أي أن الحادثتين A و B غير مستقلتين, ومنه
(P(A∩B)=P(A).P(B\A
`(3)/(10)`.`(2)/(9)`=(P(A∩B
`(1)/(15)`=(P(A∩B

مثال: يلتقي 10 أصدقاء كل يوم عطلة ليلعبوا كرة القدم، ولتشكيل الفريقين يتم سحب بطاقات مرقمة من 1 إلى 10 عشوائياً، ويشكل الذين يسحبون الأعداد الفردية الفريق A والذين يسحبون الأعداد الزوجية الفريق B. ما احتمال أن يكون أحد لاعبي الفريق B قد سحب العدد 10 ؟
بما ان لاعبي الفريق B لديهم ارقام زوجية فهذا يعني ان لديهم 5 ارقام فقط, ومنه يكون احتمال سحب اي عدد منهم "والمطلوب هنا 10" هو `(1)/(5)`

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

احتمالات الحوادث المتنافية

إن الرمز ∩ يدل على تقاطع, و الرمز ∪ يدل على اتحاد.

عند إيجاد احتمال وقوع حادثة أو وقوع حادثة أخرى، يجب أن تعرف العلاقة بين الحادثتين. فإذا لم يكن وقوع الحادثتين ممكنًا في الوقت نفسه يقال إنهما متنافيتان, أي أنه لا توجد نواتج مشتركة بينهما.

اذا كانت الحادثتان A و B متنافيتين, فاحتمال وقوع A أو B يساوي مجموع احتمال كل منهما, بمعنى:
(P(A∪B)=P(A)+P(B

اذا كانت الحادثتين A و B غير متنافيتين, فاحتمال وقوع A او B يساوي مجموع احتماليهما مطروحاً منه احتمال وقوع A و B معاً, بمعنى:
((P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B

عناصر الحادثة المتممة A تتكون من جميع نواتج فضاء العينة غير الموجودة في الحادثة A, ويساوي 1 ناقص احتمال وقوع الحادثة, بمعنى:
(P(Aَ)=1-P(A

مثال: حصل سامي على جائزة أفضل أداء لموظفي شركة، وكانت جائزته أن يختار عشوائيا واحدة من بين 4 بطاقات سفر و 6 كتب و 10 ساعات و 3 حقائب و 7 نظارات. ما احتمال أن يربح بطاقة سفر، أو كتابا، أو ساعة؟
الاحداث متنافية ومنه تكون
`(4)/(30)` + `(6)/(30)` + `(10)/(30)` = `(2)/(3)`

مثال: اذا كان احتمال اصابتك للهدف عند رمي السهم `(2)/(10)`, فما احتمال ان تخطئ الهدف؟
الاحتمال المطلوب هو متمم او نفي حدث الاصابة, ويكون
`(8)/(10)`=`(2)/(10)` - 1

الاســـم:	حوادث-متنافية.jpg
المشاهدات: 3908
الحجـــم:	31.6 كيلوبايت

سنلاحظ من الجدول ان الاحداث غير متنافية, لذلك سيكون الحل على الشكل:
سنحسب احتمال ان يكون الطالب ثاني ثانوي, ثم في نادي العلوم ثم نطرح منهم احتمال التقاطع.
`(6)/(100)` - `(11)/(100)` + `(39)/(100)`
والجواب هو `(11)/(25)`