شرح وتحضير وتهيئة درس المتتابعات والمتسلسلات ثاني ثانوي فصل ثاني, سنحل تمارين ومسائل وامثلة على المتتابعات بوصفها دوال, والمتتابعات والمتسسلسلات الحسابية, والمتتابعات والمتسلسلات الهندسية, والمتسلسلات الهندسية اللانهائية, ونظرية ذات الحدين, والبرهان باستعمال مبدء الاستقراء الرياضي, حيث سنتناول كل الحالات ونقوم بتبسيطها لجميع الطلاب لتصبح سهلة وممتعة.

المتتابعات بوصفها دوال

المتتابعة مجموعة من الأعداد مرتبة في نمط محدد أو ترتيب معين، ويسمى كلُّ عدد في المتتابعة حد. ويمكن للمتتابعة أن تكون منتهية أي لها عدد محدد من الحدود مثل: 6 , 4 , 2 , 0 , 2-، أو غير منتهية، حيث تستمر إلى مالانهاية مثل … , 3 , 2 , 1 , 0.

المتتابعة دالة مجالها مجموعة الاعداد الطبيعية او مجموعة جزئية منها, ومداها مجموعة جزئية من الاعداد الحقيقية.
عناصر المجال هي 4 3 2 1 حتى n.
عناصر المدى هي a1 a2 .... an

يحدد كلُّ حد في المتتابعة الحسابية، بإضافة قيمة ثابتة إلى الحد الذي يسبقه مباشرة. وتسمى القيمة الثابتة الفرق المشترك أو الأساس.

المتتابعة الحسابية هي دالة خطية مجالها أو متغرها المستقل هو رقم الحد n ، ومداها أو متغيرها التابع هو الحد an ، والميل هو أساسها الذي هو الفرق الثابت.

المتتابعة الهندسية نوع آخر من المتتابعات، ويمكن الحصول على أيِّ حدٍّ من حدودها بضرب الحد السابق له مباشرة في عدد ثابت يسمى أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة للمتتابعة.

يمكن تمثيل المتتابعة الهندسية بوصفها دالة أسية في الصورة f(x)=rx حيث r اساس المتتابعة الهندسية, حيث r موجبة دائماً ولا تساوي 1.

مثال: حدد نوع المتتابعة في كل مما يلي:
....5,1,7,3,9
نحسب الفرق بين كل حد وما قبله
1-5=-4
7-1=6
ليست حسابية
نحسب النسبة بين كل حد وما قبله
`(1)/(5)`
`(7)/(1)`
ليست هندسية
المتتابعة ليست حسابية ولا هندسية.

......-25, 50, 100-, 200
نحسب الفرق بين كل حد وما قبله
(100-) -(200)= -300-
50 - (100-)=150
ليست حسابية
نحسب النسبة بين كل حد وما قبله
`(-1)/(2)`=`(-100)/(200)`
`(-1)/(2)` = `(50)/(-100)`
`(-1)/(2)` = `(-25)/(50)`
ومنه متتالية هندسية

......24, 20 , 16 , 12
نحسب الفرق بين كل حد وما قبله
12-16=4
16-20=4
20-24=4
ومنه متتالية حسابية

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المتتابعات والمتسلسلات الحسابية

تستعمل الصيغة الاتية للتعبير عن الحد النوني في متتابعة حسابية حدها الاول a1 واساسها d, حيث n عدد طبيعي.
an=a1 + (n-1)d

تُسمى جميع الحدود الواقعة بين الحد الاول والاخير "أوساط حسابية".

يمكنك الحصول على المتسلسلة بوضع إشارة الجمع (+) بين حدود المتتابعة؛ لذا فالمتسلسلة الحسابية هي مجموع حدود متتابعة حسابية. ويسمى ناتج جمع الحدود n الأولى من المتسلسلة المجموع الجزئي، ويرمز له بالرمز Sn.

المجموع الجزئي في متسلسلة حسابية يُعطى بصيغتين:
(Sn=`(n)/(2)`(a1+an
(Sn=`(n)/(2)(`2a1+(n-1)d

يمكنك التعبير عن المتسلسة بصورة مختصرة باستعمال رمز المجموع.

الاســـم:	رمز-مجموع.jpg
المشاهدات: 6687
الحجـــم:	24.7 كيلوبايت

مثال: أكتب صيغة الحد النوني للمتابعة ....25, 19, 13.
a1=13
d=19-13=6
an=a1 + (n-1)d
an=13+(n-1)6
an=6n+7

مثال: أوجد الاوساط الحسابية للمتابعة, 42, __ , __, __, 6
بما انه يوجد ثلاثة حدود بين الحد الاول والاخير فإن عدد حدود المتتابعة هو n=5
لنوجد قيمة d
an=a1 + (n-1)d
6+4d=42
d=9
لنوجد الآن الاوساط الحسابية باستعمال d.
42, 33 , 24, 15, 6

مثال: أوجد مجموع حدود المتسلسلة الحسابية a1=12 و an=188 و d=4.
يجب ايجاد قيمة n أولاً
an=a1 + (n-1)d
n-1).4+ 12=188)
4n=180
n=45

(Sn=`(n)/(2)`(a1+an
(Sn=22.5(12+188
Sn=4500

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

تُستعمل الصيغة الآتية للتعبير عن الحد النوني في متتابعة هندسية حدها الأول a1 و اساسها r, حيث n عدد طبيعي:
an=a1.rn-1

وكما في الأوساط الحسابية، فإن الأوساط الهندسية هي الحدود الواقعة بين حدَّين غير متتاليين في متتابعة هندسية، ويمكنك استعمال أساس المتتابعة الهندسية لإيجاد الأوساط الهندسية.

يمكنك الحصول على المتسلسلة الهندسية بوضع إشارة الجمع (+) بين حدود المتتابعة الهندسية. وُ يرمز لمجموع أول n حدا في المتسلسلة بالرمز Sn . ويمكنك إيجاده باستعمال أيٍّ من الصيغتين الآتيتين:

الاســـم:	متسلسلة-هندسية.jpg
المشاهدات: 6999
الحجـــم:	26.7 كيلوبايت

مثال: اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية ....2,4,8
الحد الأول a1=2 وأساس المتتابعة هو r=2
an=a1.rn-1
an=2.2n-1

مثال: أوجد الأوساط الهندسية للمتابعة: 64, __, __, __ , 0.25
عدد الحدود الكلية مع الاوساط هو n=5, ولنوجد قيمة r
an=a1.rn-1
0.25r5-1=64
r4=256
r=±4
باستعمال r نوجد الاوساط الهندسية
64, 16, 4 , 1, 0.25
أو
64, 16-, 4 , 1-, 0.25

مثال: أوجد a1 في المتسلسة Sn=1020 و an=4 و r=`(1)/(2)`
باستعمال صيغة المجموع نجد
1020=`(a1-2)/(0.5)`
a1-2=2040
a1=2038

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المتسلسلات الهندسية اللانهائية

المتسلسلة الهندسية التي لها عدد لا نهائي من الحدود تسمى المتسلسلة الهندسية اللانهائية، والمجموع الجزئي لمتسلسلة لا نهائية (Sn) هو مجموع عدد محدد (n) من حدودها، وليس مجموع كل حدودها، والمتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متقاربة عندما تقترب مجاميعها الجزئية (Sn) من عدد ثابت كلما زادت قيمة n، وعندما لا تقترب هذه المجاميع من عدد ثابت مع زيادة قيمة n، فإن المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون متباعدة.

المتسلسلات الهندسية المتقاربة: اذا كانت النسبة المشتركة "الاساس" r|<1| فإن المجموع الجزئي يقترب من عدد ثابت.
المتسلسلات الهندسية المتباعدة: اذا كانت النسبة المشتركة "الاساس" r|≥1| فإن المجموع الجزئي لا يقترب من عدد ثابت.

مجموع حدود المتسلسلة الهندسية اللانهائية المتقاربة يُرمز لها بالرمز S حيث r|<1| ويُعطى بالصيغة
`(a1)/(1-r)`=S

مثال: أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين:
....+440+220+110
لنوجد r لنتأكد ان المتسلسلة لها مجموع, فنجد ان r=0.5 وهي اصغر من 1 أي أنه لها مجموع.
`(a1)/(1-r)`=S
S=`(440)/(0.5)`
S=880

...... + `(1)/(4)` + `(3)/(8)` + `(9)/(16)`
سنجد ان `(3)/(2)`=r اكبر من 1 ومنه ليس لها مجموع.

الاســـم:	مجموع-متسلسلة.jpg
المشاهدات: 4209
الحجـــم:	6.3 كيلوبايت

المثال الاول: r=4 أكبر من 1 أي انه ليس لها مجموع.
المثال الثاني: r=0.5 اصغر من 1 ولها مجموع
a1=-2
`(a1)/(1-r)`=S
S=`(2-)/(0.5)`
S=-4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

نظرية ذات الحدين

ينسب مثلَّث باسكال إلى العالم الفرنسي بليز باسكال ( 1662 - 1623 )، على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبله في بلاد المسلمين والهند وبلاد فارس والصين وإيطاليا، ويتكون المثلَّث من صفوف يكون بداية كل صف فيه ونهايته العدد 1، وكل عدد من الأعداد الأخرى في الصف، يكون ناتج جمع العددين اللذين فوقه على اليمين واليسار مباشرة، ويمكن استعماله لإيجاد معاملات مفكوك المقدار: (a+b)n

الاســـم:	ذات-الحدين.jpg
المشاهدات: 5616
الحجـــم:	20.2 كيلوبايت

تحتاج في بعض الأحيان إلى إيجاد قيمة أحد الحدود في المفكوك، ويمكنك عندها استعمال الحد العام في صيغة المجموع لنظرية ذات الحدَّين بحيث تجد الحدَّ الذي ترتيبه k + 1 أو tk+1 في مفكوك (a+b)n باستعمال الصيغة
tk+1=nCkan-kbk

مثال: أوجد مفكوك (x+3)5 باستعمال نظرية ذات الحدين.
x+3)5=x5 + 5C1x4.3 + 5C2x3.9 + 5C3x227 + 5C4x.81 + 243
x+3)5=x5+15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243)

مثال: أوجد الحد السادس في مفكوك (2c-3d)8.
n=8 وبما ان الحد المطلوب هو السادس فإن k=5
t6=8C5.(2c)3.(3d)5
t6=108864c3d5

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي

مبدأ الاستقراء الرياضي هو أسلوب لبرهنة الجمل الرياضية المتعلِّقة بالأعداد الطبيعة.

لبرهنة أن جملة ما صحيحة للأعداد الطبيعية جميعها n, اتبع الخطوات التالية:
1-برهن أن الجملة صحيحة عندما n=1.
2-أفترض أن الجملة صحيحة عند k, وهذا الفرض يُسمى فرضية الاستقراء.
3-برهن أن الجملة صحيحة عند العدد الطبيعي k+1.

يمكنك إثبات خطأ جملة رياضية من خلال مبدأ الاستقراء الرياضي، وأسهل طريقة لعمل ذلك هي إيجاد مثال مضاد تكون عنده الجملة الرياضية خاطئة.

مثال: برهن صحة أن 10n-1 يقبل القسمة على 9.
لنثبت صحتها من اجل n=1 ومنه 101-1=9 و 9 تقبل القسمة على 9 ومنه العبارة صحيحة من اجل n=1
لنفترض ان الجملة صحيحة عند k أي 10k-1=9r حيث r عدد طبيعي
لنبرهن صحة الجملة عند k+1 أي يجب برهان أن 10k+1-1 يقبل القسمة على 9.
10n-1=9r
10k=9r-1
نضرب الطرفين بـ10
(10k+1=10(9r-1
10k+1=90r-10
نطرح 1 من الطرفين
10k+1-1=90r-9
(10k+1-1=9(10r-1
بما أن r عدد طبيعي فإن 10r-1 عدد طبيعي وهذا يعني أن 9(10r-1) تقبل القسمة على 9.
ومنه الجملة صحيحة.

مثال: اعط مثالاً مضاداً ينفي أن 3n+1 تقبل القسمة على 4.
اذا كانت n=2 فإن 9+1=10 لا تقبل القسمة على 4 ومنه الجملة خاطئة.