شرح وتحضير وتهيئة درس العلاقات والدوال النسبية للصف الثاني الثانوي الفصل الدراسي الثاني, سنشرح في هذا الدرس ضرب العبارات النسبية وقسمتها, وجمع العبارات النسبية وطرحها, وتمثيل دوال المقلوب بيانياً, وتمثيل الدوال النسبية بيانياً, ودوال التغير, وحل المعادلات والمتباينات النسبية, حل تمارين ومسائل وامثلة لجعل الفكرة سهلة وبسيطة لجميع الطلاب.

ضرب العبارات النسبية وقسمتها

تُسمى النسبة بين كثيرتي حدود عبارة نسبية.

لضرب عبارتين نسبيتين, أضرب البسط في البسط والمقام في المقام.
لقسمة عبارة نسبية على اخرى, اضرب المقسوم في مقلوب المقسوم عليه.

الكسر المركب يحوي بسطه ومقامه أو احدهما كسوراً, ولتبيسط كسر مركب, اكتبه اولاً على صورة قسمة عبارتين.

مثال: بسط كل من العبارات التالية:

الاســـم:	دوال-نسبية.jpg
المشاهدات: 2135
الحجـــم:	16.5 كيلوبايت

المثال الاول: لاحظ اننا ضربنا في مقلوب المقسوم عليه, ثم قمنا بالتبسيط.
المثال الثاني: لاحظ اننا قمنا بتحليل البسط والمقام, ثم اختصار العوامل المشتركة.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

جمع العبارات النسبية وطرحها

تماماً كما في الأعداد النسبية التي على الصورة الكسرية، فعند جمع عبارتين نسبيتين بمقامين مختلفين أو طرحهما، يجب أن تجد أولاً المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للمقامين.
ولإيجاد (LCM) لعددين أو لكثيرتي حدود أو أكثر، يجب أن تحلل كلاً منها إلى عواملها الأولية أولاً، ثم تضرب جميع العوامل التي لها الأس الأكبر.

لجمع العبارات النسبية وطرحها اعد كتابة العبارات بجيث تكون مقاماتها متساوية, ثم أجمع أو اطرح.

مثال: بسط كل عبارة مما يلي:

الاســـم:	جمع-دوال-نسبية.jpg
المشاهدات: 2101
الحجـــم:	22.4 كيلوبايت

المثال الاول: لاحظ اننا قمنا بتحليل المقام ثم توحيد المقامات لتصبح متشابهة, ثم قمنا بالجمع.
المثال الثاني: لاحظ اننا قمنا بتبسيط البسط ثم المقام لتسهل علينا عملية القسمة, ثم قمنا بضرب الحد الاول بمقلوب الحد الثاني, ثم قمنا بالتبسيط بسهولة.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تمثيل دوال المقلوب بيانياً

خط التقارب لدالة: هو مستقيم يقترب منه التمثيل البياني للدالة, `(1)/(a(x)`=(f(x خط تقارب رأسي عند القيمة المستثناه من مجالها, وخط تقارب افقي يبين سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة.

للدالة y= `(a)/(x-b)` + c خط تقارب رأسي عند قيمة x التي تجعل المقام صفراً, أي أن خط التقارب الرأسي للدالة هو x=b, ويكون لها خط تقارب أفقي عند y=c.

الاســـم:	دالة-مقلوب.jpg
المشاهدات: 2152
الحجـــم:	22.2 كيلوبايت

المثال الاول: سنحدد قيمة x التي تجعل الدالة غير معرفة.
x+4=0
x=-4
الدالة غير معرفة عند x=-4 , وهذا يعني وجود خط تقارب رأسي عند x=-4, وبما أن c=0 فإن يوجد خط تقارب رأسي أفقي عند y=0.
مجال الدالة هو مجموعة الاعداد الحقيقة ماعدا 4-, ومدى الدالة هو مجموعة الاعداد الحقيقية ماعدا 0.
المثال الثاني: سنحدد قيمة x التي تجعل الدالة غير معرفة.
x=0
الدالة غير معرفة عند x=0 , وهذا يعني وجود خط تقارب رأسي عند x=0, وبما أن c=-3 فإن يوجد خط تقارب رأسي أفقي عند y=-3.
مجال الدالة هو مجموعة الاعداد الحقيقة ماعدا 0, ومدى الدالة هو مجموعة الاعداد الحقيقية ماعدا 3-.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تمثيل الدوال النسبية بيانياً

الدالة النسبية هي دالة على الصورة `(a(x))/(b(x)`=(f(x, حيث (a(x و(b(x كثيرتا حدود.\
لتمثيل الدالة السنبية بيانياً يكون من المفيد تحديد اصفارها, وخطوط تقارب لها, فإصفار الدالة `(a(x))/(b(x)`=(f(x هي جميع قيم x التي يكون عندها a(x)=0.

اذا كان `(a(x))/(b(x)`=(f(x, حيث (a(x و (b(x كثيرتا حدود لا يوجد بينهما عوامل مشتركة إلا 1, فإنه:
-يوجد للدالة (f(x خط تقارب رأسي عندما b(x)=0.
-يوجد للدالة (f(x خط تقارب أفقي واحد على الاكثر.
-اذا كانت درجة تقارب (a(x اكبر من درجة تقارب (b(x فلا يوجد خط تقارب افقي.
-اذا كانت درجة (a(x اكبر من درجة (b(x فإن خط التقارب الافقي هو المستقيم, y=0.
-اذا كانت درجة (a(x تساوي درجة (b(x فإن خط التقارب الافقي هو المستقيم:
الاســـم:	دوال-نسبية-بيان&#1.jpg
المشاهدات: 1440
الحجـــم:	3.4 كيلوبايت

يوجد في بعض الأحيان نقط انفصال في التمثيل البياني للدالة النسبية، وتظهر هذه النقط على شكل فجوات في التمثيل البياني للدالة؛ لأن الدالة تكون غير معرفة عند تلك النقاط و معرفة حولها.

اذا كانت `(a(x))/(b(x)`=(f(x وكان x-c عاملاً مشتركاً بين (a(x و (b(x فإنه يوجد نقطة انفصال عندما x=c.

الاســـم:	تمرين-بيانيا.jpg
المشاهدات: 1611
الحجـــم:	30.5 كيلوبايت

المثال الاول: مجال الدالة هو جميع الاعداد ماعدا التي تجعل الدالة غير معرفة وهي x=1.
بما أن المقام يصبح صفراً عندما x=1 اذن يوجد خط تقارب رأسي عند x=1.
بما ان درجة البسط اكبر من درجة المقام فإنه لا يوجد خط تقارب افقي للدالة.
لنوجد اصفار الدالة
x2-2=0
x2=2
`sqrt(2)`±=x
وهذا يعني ان منحني الدالة يقطع المحور x في النقطتين (`sqrt(2)`,0) , و (`sqrt(2)`-, 0)
سنأخذ بعض القيم لإيجاد ازواج مرتبة لنستطيع رسم التمثيل البياني.

المثال الثاني: سنقوم بتبسيط الدالة واخراج العامل المشترك لتصبح f(x)=x-5
وبما انه يوجد عامل المشترك والذي هو x+1 فإن x=-1 نقطة انفصال.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

دوال التغير

عندما تكون النسبة بين كميتين متغيرتين ثابتة، تسمى العلاقة بينهما (تغيراً طردياً).
يعبر عن التغيُّر الطردي بمعادلة على الصورة، y = kx و ُ يسمى k في هذه المعادلة ثابت التغيُّر.

هناك نوع آخر من التغيُّر يسمى التغيُّر المشترك، ويحدث عندما تتغيَّر كمية ما طردياً مع حاصل ضرب كميتين أخريين أو أكثر.
تتغير y تغيراً مشتركاً مع x و z اذا وجد عدد k لا يساوي الصفر بحيث y=kxz.

هناك نوع ثالث من التغيُّر هو التغيُّر العكسي ، فإذا تغيَّرت الكميتان عكسياW فحاصل ضربهما يساوي ثابت هو k.

تتغير y عكسياً مع x اذا وجد عدد k لا يساوي الصفر بحيث xy=k.

هناك نوع رابع من التغيُّر هو التغيُّر المركب، ويحدث عندما تتغيَّر كمية ما طردياW أو عكسياW أو كليهما معاW مع كميتين أخريين أو أكثر.

ملاحظة: احفظ قوانين التغير الطردي والمشترك والعكسي والمركب المذكورين في التمرين.

مثال: اذا كانت y تتغير طردياً مع x وكانت y=12 عندما x=8, فأوجد قيمة y عندما x=14.
`(y1)/(x1)`=`(y2)/(x2)`
`(12)/(8)`=`(y2)/(14)`
y2=21

مثال: اذا كانت y تتغير تغيراً مشتركاً مع x و z, وكانت y=-50 عندما z=5 و x=-10, فإوجد قيمة y عندما x=9 و z=-3.
`(y2)/(x2z2)`=`(y1)/(x1z1)`
`(y2)/(9.-3)`=`(-50)/(-5.10)`
y2=-27

مثال: اذا كانت y تتغير عكسياً مع x, وكانت y=-18 عندما x=16, فأوجد قيمة x عندما y=9.
x1y1=x2y2
(16)(-18)=9x2
x2=-32

مثال: اذا كان a تتغير طردياً مع b, وعكسياً مع c, وكانت b=16, عندما c=2 و a=4, فأوجد قيمة b عندما a=8 و c=-3.
`(a1c1)/(b1)`=`(a2c2)/(b2)`
`(4.2)/(b1)`=`(-3.8)/(16)`
b1=-48

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل المعادلات والمتباينات النسبية

تسمى المعادلة التي تحتوي على عبارة نسبية أو أكثر معادلة نسبية، ويكون حل هذه المعادلة عادة أسهل عندما تتخلص من المقامات، وذلك بضرب طرفي المعادلة في LCM لها. ومن الممكن الحصول على حلول دخيلة عند ضرب طرفي المعادلة النسبية في LCM للمقامات, لذا فإنه من الضروري التحقق من صحة الحل لاستثناء القيم التي تجعل أحد مقامات المعادلة صفر.

المتباينات النسبية, هي المتباينات التي تحتوي على عبارة نسبية أو أكثر. ولحلها اتبع الخطوات الآتية:
1-حدد القيم المستثناه وهي القيم التي يكون عندها المقام صفر.
2-حل المعادلة المرتبطة والتي تحصل عليها بوضع رمز المساواة بدلاً من رمز التباين في المتباينة.
3-استعمل القيم التي حصلت عليها في الخطوتين السابقتين لتقسيم خط الاعداد إلى فترات.
4-اختبر قيمة من كل فترة لتحديد الفترات التي تحقق أعدادها المتباينة.

مثال: حل المعادلة `(5)/(x^2 - 9x +20)`= `(9)/(x-4)` - `(8)/(x-5)`

المقام المشترك للحدود الثلاثة هو (x-4)(x-5), سنضرب الطرفين بالمقام المشترك للتخلص من المقام.
x-4)8 - 9(x-5) -5=0)
8x-32 -9x+45-5=0
x=-8

مثال: حل المتباينة `(5)/(4x)`<`(4)/(x)` - 3 .
القيم المستثناه في هذه المتباينة هي 0.
حل المعادلة `(5)/(4x)`=`(4)/(x)` - 3
نقوم بتوحيد المقامات ثم حذفها, سنضرب الطرفين بـ4x.
12x-16=5
12x=21
x=1.75

سنختبر قيمة قبل 1.75 وبعد 1.75.
x=2 تجعل المتباينة صحيحة.
x=1 لا تجعل المتباينة صحيحة, ومنه الحل يكون x>2