شرح وتحضير وتهيئة درس العلاقات والدوال العكسية والجذرية للصف الثاني الثانوي الفصل الدراسي الاول, سنتعلم وندرس في هذا الفصل العمليات على الدوال, العلاقات والدوال العكسية, ودوال ومتباينات الجذر التبربيعي, والجذر النوني, والعمليات على العبارات الجذرية, والأسس النسبية وحل المعادلات والمتباينات الجذرية, بالاضافة الى حل تمارين وامثلة ومسائل لفهم العلاقات والدوال بسهولة.

العمليات على الدوال

يمكنك جمع وطرح وضرب وقسمة دالتين كما تقوم في الاعداد الحقيقة, حيث:
(f(x+y)=f(x) + f(y
(f(x-y)=f(x) - f(y
(f(x.y)=f(x).f(y
`(f)/(g)`(x)=`(f(x))/(g(x))`

تركيب دالتين: اذا كانت f و g دالتين وكان مدى g مجموعة جزئية من مجال f, فإنه يمكن إيجاد دالة تركيب f○g بالشكل:
[(f○g](x)=f[g(x)]

مثال: أوجد f○g و g○f للدالتين:
{(f = {(2, 5), (6, 10), (12, 9), (7, 6
{(g = {(9, 11), (6, 15), (10, 13), (5, 8

لا يمكن ايجاد f○g لأن مدى g ليس مجموعة جزئية من مجال f.

f(2)=5 ومنه g(f(2))=g(5)=8
f(6)=10 ومنه g(f(6))=g(10)=13
f(12)=9 ومنه g(f(12))=g(9)=11
f(7)=6 ومنه g(f(7))=g(6)=15

مثال: أوجد f○g و g○f للدالتين:
f(x) = -3x
g(x) = 5x - 6
f○g(x)=f(g(x))=f(5x-6)=-3(5x-6)=-15x+18
g○f(x)=g(f(x)=g(-3x)=5(-3x)-6=-15x-6

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

العلاقات والدوال العكسية

العلاقة العكسية هي مجموعة من الأزواج المرتبة، يمكن الحصول عليها عن طريق تبديل إحداثيات كل زوج مرتب للعلاقة، فيصبح مجال العلاقة هو مدى العلاقة العكسية لها، ومداها هو مجال العلاقة العكسية لها.

تكون كل من العلاقتين عكسية للأخرى اذا وفقط اذا تحقق الشرط التالي:
كلما احتوت إحداهما على زوج مرتب (a,b), احتوت الاخرى على الزوج المرتب (b,a)

اذا كان كل من f-1 و f دالة عكسية للأخرى, فإن f(a)=b اذا وفقط اذا كان f-1(b)=a

تكون كل من الدالتين f و g دالة عكسية للأخرى اذا وفقط اذا كان تركيب كل منهما يساوي الدالة المحايدة I(x)=x, أي:
f○g(x)=x و g○f(x)=x

مثال: أوجد العلاقة العكسية للعلاقة: {(9-, 10), (1, 3-), (8, 5-)}.
بتبديل الاحداثيات فقط نجد العلاقة العكسية والتي هي: {(10 , 9-), (3- , 1), (5-,8)}.

مثال: أوجد معكوس الدالة f(x)=4x-6
نكتب الدالة بدلالة x و y.
y=4x-6
نستبدل y بـx و xبـy
x=4y-6
نجد y
4y=x+6
`(x+6)/(4)`=y

مثال: هل الدالة f(x)=x-7 هي دالة عكسية للدالة g(x)=x+7.
f○g(x)=f(x+7)=x+7-7=x
g○f(x)=g(x-7)=x-7+7=x
ومنه (f(x و (g(x كل منهما دالة عكسية للأخرى.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

دوال ومتباينات الجذر التربيعي

إذا احتوت دالة على الجذر التربيعي لمتغير، تسمى دالة الجذر التربيعي. وهي نوع من أنواع الدالة الجذرية.

الاســـم:	دالة-جذرية.jpg
المشاهدات: 4172
الحجـــم:	36.5 كيلوبايت

متباينة الجذر التربيعي هي متباينة تحتوي الجذر التربيعي. ويمكن تمثيلها بيانياً تماماً مثل طريقة تمثيل المتباينات الأخرى.

مثال: مثل الدالة بيانياً وحدد مجالها ومداها:
f(x)=`sqrt(x-4)`-3

القيمة الصغرى للدالة عند (h,k)=(4,-3), سنقوم بعمل جدول لقيم x اكبر من 4, ونمثل الدالة بيانياً.
الدالة هي تحويل للتمثيل البياني للدالة `sqrt(x)` مع ازاحة 4 وحدات لليمين و 3 وحدات للأسفل.
مجال الدالة هو {x | x≥4}
مدى الدالة هو {y | y≥-3}

الاســـم:	تمرين.jpg
المشاهدات: 3159
الحجـــم:	17.0 كيلوبايت

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الجذر النوني

يعد إيجاد الجذر التربيعي لعدد عملية عكسية لتربيعه. فلإيجاد الجذر التربيعي للعدد a يجب أن تجد العدد الذي مربعه يساوي a. وبالمثل فإن العملية العكسية لرفع عدد لقوة (n) هي إيجاد الجذر النوني للعدد.
4=`sqrt(64)`3 وذلك لأن 4X4X4=64

إذا كان دليل الجذر عدداً زوجياً وأس ما تحت الجذر عدداً زوجياً، وكان أس الناتج عدداً فردياً، يجب أن تجد القيمة المطلقة للناتج لتتأكد من أن الجواب ليس سالب.

الاســـم:	جذر-نوني.jpg
المشاهدات: 3041
الحجـــم:	4.9 كيلوبايت

المثال الاول: لاحظ ان دليل الجذر فردي لذلك لا نحتاج لكتابة القيمة المطلقة.
المثال الثاني: لاحظ ان دليل الجذر زوجي, واس ما تحت الجذر زوجي, لذلك كتبنا القيمة المطلقة.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

العمليات على العبارات الجذرية

الاســـم:	جذور.jpg
المشاهدات: 4955
الحجـــم:	53.5 كيلوبايت

لإزالة الجذور من المقام أو الكسور تحت الجذر، استعمل عملية تسمى إنطاق المقام. ولعمل ذلك، اضرب البسط والمقام في مقدار بحيث تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر مما يسهل إيجاد الجذر الدقيق.

يمكن جمع العبارات الجذرية وطرحها بالأسلوب المستعمل عند جمع أحاديات الحدود أو طرحها، ولكن بشرط أن تكون الجذور متشابهة, أي أن يكون للجذور الدليل نفسه وما تحت الجذور المقادير نفسها.

ويمكنك استعمال المرافق لإنطاق المقام.

مثال: بسط كل مما يلي:

الاســـم:	تبسيط-جذور.jpg
المشاهدات: 3103
الحجـــم:	9.4 كيلوبايت

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الأسس النسبية

الاســـم:	اسس-نسبية.jpg
المشاهدات: 5182
الحجـــم:	49.8 كيلوبايت

عند تبسيط عبارة جذرية اجعل دليل الجذر أقل ما يمكن. وتذكر أن استعمال الأسس النسبية يسهل هذه العملية، وبعد الانتهاء من استعمال الأسس النسبية، أعد كتابة الناتج في الصورة الجذرية.

الاســـم:	تبسيط-جذر.jpg
المشاهدات: 2906
الحجـــم:	4.7 كيلوبايت

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل المعادلات والمتباينات الجذرية

تحتوي المعادلات الجذرية على عبارات جذرية, ويمكنك حلها عن طريق رفع طرفي المعادلة لأس معين:
1-اجعل الجذر في طرف واحد من المعادلة.
2-ارفع طرفي المعادلة لأس يساوي دليل الجذر, وذلك للتخلص من الجذر.
3-حل معادلة كثيرة الحدود الناتجة, ثم تحقق من صحة الحل.

عند حل بعض المعادلات الجذرية، قد لا يحقق الحل المعادلة الأصلية. ويسمى مثل هذا الحل حلاً دخيلاً.

المتباينة الجذرية هي متباينة تحوي متغيراً في الصورة الجذرية. ولحل متباينة جذرية، اتبع الخطوات الآتية:
1-اذا كان دليل الجذر عدداً زوجياً, فعين قيم المتغير التي لا تجعل ما تحت الجذر سالباً.
2-حل المتباينة جبرياً.
3-اختبر القيم لتتأكد من صحة الحل.

مثال: حل كل معادلة ومتباينة مما يأتي:

الاســـم:	حل-جذور.jpg
المشاهدات: 3479
الحجـــم:	22.0 كيلوبايت