شرح وتحضير وتهيئة درس كثيرات الحدود ودوالها للصف الثاني الثانوي الفصل الدراسي الاول, سنشرح في درس اليوم الاعداد المركبة, والقانون العام والمميز, والعمليات على كثيرات الحدود وقسمة كثيرات الحدود ودوال كثيرات الحدود, وحل معادلات, ونظريتا الباقي والعوامل, والجذور والاصفار ونظرية الصفر النسبي, بالاضافة الى حل العديد من الامثلة والمسائل والتمارين لجميع الطلاب.

الاعداد المركبة

الوحدة التخيلية i على أنها الجذر التربيعي الأساسي للعدد 1-, وبعبارة اخرى `sqrt(-1)`=i

وتُسمى الاعداد 3i و `sqrt(3)`i اعداداً تخيلية بحتة, وهي جذور تربيعية لأعداد حقيقة سالبة.

تحقق الأعداد التخيلية البحتة كلاً من الخاصيتين التجميعية والتبديلية على الضرب, كما ان:
i3=-i
i4=1
i5=i
i6=-1
i7=-i
i8=1

العدد المركب هو أي عدد يمكن كتابته على الصورة a+bi, حيث a و b عددان حقيقيان, i وحدة تخيلية, ويسمى a الجزء الحقيقي و b الجزء التخيلي.

نجمع ونطرح ونضرب ونقسم الاعداد المركبة والاقسام التخيلية مثل الاعداد الحقيقية.

يسمى العددان المركبان a + bi ٫ a - bi مترافقين مركبين، وناتج ضربهما هو عدد حقيقي دائماً. ويمكنك استعمال هذه الحقيقة لإيجاد ناتج قسمة عددين مركبين.

مثال: حل المعادلة التالية: 4x2+32=0
4x2=-32
x2=-8
`sqrt(-8)`±=x
`sqrt(2)`x=±2i

مثال: اوجد قيمة a و b التي تجعل المعادلة صحيحة:
3a + (4b + 2)i = 9 - 6i
نقارن القسم الحقيقي مع القسم الحقيقي والقسم التخيلي مع القسم التخيلي
4b+2=-6
4b=-8
b=-2

3a=9
a=3

مثال: بسط كل مما يلي:
(6-8i)(9+2i)
54+12i -72i -16i2
70-60i

`(3-i)/(4+2i)`
نضرب البسط والمقام بمرافق المقام.
`((3-i).(4-2i))/((4+2i)(4-2i))`
`(-10i+10)/(20)`

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

القانون العام والمميز

يمكن حل المعادلة التربيعية المكتوبة على الصورة: ax2+bx+c=0 باستعمال القانون:
`(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`=x

يُسمى ما تحت الجذر في القانون العام b2-4ac بالمميز.

في حال كان المميز موجباً يكون هناك جذرين حقيقين للمعادلة, وفي حال كان المميز صفراً هناك جذر حقيقي واحد, وفي حال كان المميز اصغر من الصفر فهناك جذران مركبان.

مثال: حل المعادلة x2+12x-9=0 باستخدام القانون العام:
a=1 و b=12 و c=-9
`(12±sqrt(12^2-4.1.-9))/(2)`=x
`sqrt(5)`x=6+3
`sqrt(5)`x=6-3

مثال: اوجد قيمة المميز للمعادلة 3x2+8x+x=0
b2-4ac=64-24=40
عدد موجب اي ان لها جذران حقيقيان.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

العمليات على كثيرات الحدود

تعني عملية تبسيط عبارات تتضمن قوى إعادة كتابتها دون أقواس أو أسس سالبة. والأسس السالبة هي طريقة للتعبير عن النظير الضربي لعدد،

عند تبسيط وحيدات الحد تأكد أنك قد بسطتها على نحو كامل, بحيث:
1-لا تتضمن قوة.
2-يظهر كل اساس مرة واحدة.
3-تكون جميع الكسور المتضمنة في أبسط صورة.
4-لا تتضمن أسساً سالبة.

درجة كثيرة الحدود المبسطة هي أكبر درجة لوحيدات الحد المكوِّنة لها.

مثال: بسط كثيرة الحدود (2a3b-2)(-4a2b4) الى ابسط صورة.
8a5b2-

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

قسمة كثيرات الحدود

القسمة التركيبية هي طريقة مبسطة لقسمة كثيرة حدود على ثنائية حد.

خطوات القيام بالقسمة التركيبية:
1-اكتب معاملات المقسوم بعد ترتيب حدوده تنازلياً بحسب درجتها, وتأكد من أن المقسوم عليه على الصورة x-r, ثم اكتب الثابت r في الصندوق, واكتب المعامل الأول أسفل الخط الافقي.
2-اضرب المعامل الاول في r, واكتب الناتج أسفل المعامل الذي يليه.
3-اجمع ناتج الضرب مع المعامل الذي فوقه.
4-كرر الخطوتين 2 و 3 على ناتج الجمع في الخطوة السابقة حتى تصل الى ناتج جمع العددين في العمود الاخير, والاعداد التي في الصف الاخير تمثل معاملات ناتج القسمة, ودرجة الحد الاول اقل بواحد من درجة المقسوم, والعدد الاخير هو الباقي.

مثال: اوجد ناتج القسمة (x2-6x-20)÷(x+2) لأبسط صورة.

الاســـم:	قسمة-كثيرات-حدو&#1.jpg
المشاهدات: 3734
الحجـــم:	8.1 كيلوبايت

مثال: استعمل القسمة التركيبية لإيجاد ناتج (10x2+15x+20)÷(5x+5).

نقسم البسط والمقام على 5 فتصبح كثيرة الحدود على الشكل (2x2+3x+4)(x+5)
نقوم بعملية القسمة التركيبية, حيث نضع الثابت 1- في الصندوق ونضع اول معامل 2 تحت الخط, ثم نبدء بضرب 2 بالثابت 1- ونجمعه مع المعامل الذي يليه وهكذا.

الاســـم:	قسمة+تركيبية.jpg
المشاهدات: 3232
الحجـــم:	2.7 كيلوبايت

- ثم جمعناها مع 3 وكان الناتج 1, ثم ضربنا 1 مع 1- وجمعناها مع 4 وكان الناتج 3 والذي هو الباقي, ومنه ناتج القسمة يكون
`(3)/(x+5)` + 2x+1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

دوال كثيرات الحدود

كثيرة الحدود بمتغير واحد هي عبارة جبرية على الصورة: anxn + an-1xn-1....a2x2+a1x+a0
ودرجة كثيرة الحدود هي أس المتغير ذي أكبر أس فيها، ويسمى معامل الحد الأول في كثيرة الحدود المكتوبة بالصيغة القياسية المعامل الرئيس.

دالة كثيرة الحدود هي دالة متصلة يمكن وصفها بمعادلة كثيرة حدود, مثل: f(x)=22+5x+1 وتسمى عندئذ دوال القوة.

مجال دالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية ويحدد سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة (f(x عندما تقترب x من المالانهاية ( ∞+→ x)، أو سالب المالانهاية ( ∞-→x) بكل من: درجة دالة كثيرة الحدود
والمعامل الرئيس لها.

الاســـم:	سلوك-كثيرة-حدود.jpg
المشاهدات: 7669
الحجـــم:	54.7 كيلوبايت

عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع المحور x هو عدد اصفار المعادلة.

يكون للدوال الفردية الدرجة عدد فردي من الاصفار المنتمية لمجموعة الاعداد الحقيقية, ويكون للدوال الزوجية الدرجة عدد زوجي من الاصفار أو لا يكون لها اصفار تنتمي لمجموعة الاعداد الحقيقية.

مثال: اذا كانت f(x)=2x2+4x+6 أوجد (f(2a)+2f(a.
f(2a)=2(2a)2 +2(2a)+6
f(2a)=8a2+4a+6

(2f(a)=2(2a2+4a+6
2f(a)=4a2+8a+12
(f(2a)+2f(a= 8a2+4a+6 + 4x2+8x+12
f(2a)+2f(a)=12a2+8a+18

الاســـم:	تمرين-سلوك.jpg
المشاهدات: 4416
الحجـــم:	16.4 كيلوبايت

المثال الاول:
∞-→(f(x عندما ∞-→x
∞+→(f(x عندما ∞+→x

بما ان سلوك طرفي التمثيل البياني في اتجاهين مختلفين فإن الدالة فردية, وبما ان التمثيل البياني للدالة يقطع محور x في 3 نقاط, فهناك 3 اصفار للدالة.

المثال الثاني:
∞-→(f(x عندما ∞-→x
∞-→(f(x عندما ∞+→x
بما ان سلوك طرفي التمثيل البياني في نفس الاتجاه فإن الدالة زوجية, وبما ان التمثيل البياني للدالة لا يقطع المحور x في أي نقطة, فليس للمعادلة حلول.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل معادلات كثيرات الحدود

يمكن تحليل بعض كثيرات الحدود التكعيبية بقوانين خاصة, مثل:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

تسمى كثيرة الحدود التي لا يمكن تحليلها كثيرة حدود أولية.

الصورة التربيعية لكثيرة الحدود هي: au2+bu+c, وفي حال كانت u حد كبير يصعب تحليله نقوم باستبداله بـx.

مثال: حلل كثيرة الحدود x3y2-8x3y+16x3+y5-8y4+16y3 تحليل تام.
نقوم باخراج عامل مشترك
(x3(y2-8y+16)+y3(y2-8y+16
(x3+y3)(y2-8y+16)
نحلل كثيرة الحدود التكعيبية.
(x+y)(x2-xy+y2)(y2-8y+16)

مثال: حل المعادلة x3-19x2+48=0.
نستبدل x2 بـu.
u2-19u+48=0
(u-16)(u-3)=0
u=16
x2=16
x=±4

u=3
x2=3
`sqrt(3)`±=x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

نظريتا الباقي والعوامل

اذا قسمت كثيرة حدود (P(x على x-r, فإن الباقي ثابت ويساوي (P(r, وكذلك:
(P(x)=Q(x).(x-r)+P(r
حيث (Q(x دالة كثيرة حدود تقل درجتها بواحد عن (P(x.

تسمى عملية تطبيق نظرية الباقي باستعمال القسمة التركيبية التعويض التركيبي. وهي طريقة سهلة لإيجاد قيمة دالة عند عدد، خاصة عندما تكون درجة كثيرة الحدود أكبر من الدرجة الثانية.

تكون ثنائية الحد x-r عاملاً من عوامل كثيرة الحدود (P(x اذا وفقط اذا كان P(r)=0.

مثال: أوجد (f(4 للدالة f(x)=2x3-5x2-x+14 بطريقة التعويض التركيبي.
بناءً على نظرية الباقي, فإن (f(4 يساوي باقي القسمة على كثيرة الحدود x-4.

الاســـم:	التعويض-التركي&#15.jpg
المشاهدات: 3182
الحجـــم:	3.3 كيلوبايت

من الباقي نجد ان f(4)=58

مثال: حدد اذا كان الحد x-1 احد عوامل f(x)=x3-6x2+11x-6 واوجد باقي العوامل.
f(1)=0 ومنه يكون x-1 احد عوامل الدالة (f(x.
نقوم بتقسم العامل على الدالة ونجد ان (f(x)=(x-1)(x2-5x+6
(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الجذور والاصفار

اذا كانت (f(x كثيرة حدود فإن العبارات التالية متكافأة:
-c صفر للدالة (f(x
-c جذر او حل للمعادلة f(x)=0
- x-c عامل من عوامل كثيرة الحدود (f(x
-اذا كان c عدداً حقيقياً, فإن (c,0) هي نطقة تقاطع تمثيل الدالة (f(x مع المحور x.

النظرية الاساسية في الجبر: كل معادلة كثيرة حدود درجتها اكبر من الصفر لها جذر واحد على الاقل, ينتمي الى مجموعة الاعداد المركبة.

يكون لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة n العدد n فقط من الجذور المركبة بما في ذلك الجذور المكررة.

قانون ديكارت للإشارات: اذا كانت (f(x دالة كثيرة حدود معاملات حدودها أعداد حقيقية, فإن:
-عدد الاصفار الحقيقية الموجبة للدالة (f(x يساوي عدد مرات تغير اشارة معاملات حدود الدالة (f(x, أو أقل منه بعدد زوجي.
-عدد الاصفار الحقيقية السالبة للدالة (f(x يساوي عدد مرات تغير اشارة معاملات حدود الدالة (f(-x, أو أقل منه بعدد زوجي.

اذا كان a و b عددان حقيقيان , وكان a+bi صفراً لدالة كثيرة حدود معاملات حدودها أعداد حقيقية, فإن a-bi صفر للدالة أيضاً.

مثال: حل المعادلة x3+12x2+32x=0 واذكر عدد جذورها وانواعها:
بما ان المعادلة من الدرجة الثالثة فإن لها 3 جذور
نخرج x عامل مشترك
x(x2+12x+32)=0
x(x+4)(x+8)=0
x=0
x=-4
x=-8

مثال: اكتب دالة كثيرة حدود درجتها أقل ما يمكن ومعاملات حدودها اعداد صحيحية, اذا كانت اصفارها 4- و 4+i.
من اصفار الدالة نستنتج عواملها والتي هي
[(x-4)[(x-(4+i)][(x-(4-i)
[(x-4)[(x-(4+i)][(x-(4-i)
[(x-4)[(x-4)-i)][(x-4)+i)
(x-4)[(x-4)2-i2]
(x-4)(x2-8x+16)+1)
(x-4)(x2-8x+17)
x3-12x2+49x+68

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

نظرية الصفر النسبي

اذا كانت (f(x دالة كثيرة حدود معاملات حدودها اعداد صحيحة, فإن اي صفر نسبي للدالة, (f(x سيكون على صورة العدد النسبي `(p)/(q)` في ابسط صورة, حيث p احد عوامل الحد الثابت, و q احد عوامل المعامل الرئيس.

مثال: اكتب جميع الاصفار التي تحددها نظرية الصفر النسبي للدالة f(x)=x3-6x2-13x+42.
معادلة من الدرجة الثالثة اي ان هناك ثلاثة جذور, والاعداد النسبية التي تحددها نظرية الصفر النسبي هي احد عوامل 1 و 42 وهي:
±1 و 2± و 3± و 6± و 7± و 14± و 21± و 42±
نبدء باختبار الاعداد النسبية لنجد ان:
f(2)=0
نقسم الدالة على x-2 فنجد
(f(x)=(x-2)(x2-4x-21
(f(x)=(x-2)(x-7)(x+3
ومنه اصفار الدالة هي 2 و 7 و 3-