شرح وتحضير وتهيئة درس المصفوفات للصف الثاني الثانوي الفصل الثاني الدراسي, سنشرح في هذا الدرس مقدمة عن المصفوفات, والعمليات على المصفوفات, وضرب المصفوفات والمحددات وقاعدة كرامر, والنظير الضربي للمصفوفة وانظمة المعادلات الخطية, حيث سنقوم بحل العديد من التمارين ونشرحها وامثلة على كل حالة, ليكون درس المصفوفات بسيط وسهل لجميع الطلاب.

مقدمة في المصفوفات

المصفوفة هي ترتيب على هيئة مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف أفقية وأعمدة رأسية، محصورة بين قوسين. وتنظم الأعداد أو البيانات في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى. وتسمى كل قيمة في المصفوفة عنصراً. ويرمز إلى المصفوفة عادة باستعمال الحروف الكبيرة A, B.

يمكن تحديد نوع المصفوفة برتبتها؛ فالمصفوفة المكونة من m صفاً و n عموداً يقال عنها مصفوفة من الرتبة m × n أو من النوع m × n (تقرأ ” m في n“).
يدل الرمز a21 على العنصر الموجود في المصفوفة في الصف الثاني العمود الاول في المصفوفة A.

مصفوفة صف تحتوي صفاً واحداً.
مصفوفة عمود تحتوي على عمود واحد.
المصفوفة المربعة عدد الصفوف فيها يساوي عدد الاعمدة.
المصفوفة الصفرية جميع عناصرها اصفار.

تكون المصفوفتان متساويتين إذا كانتا من الرتبة نفسها ، وتساوت عناصرهما المتناظرة.

الاســـم:	مصفوفة.jpg
المشاهدات: 2250
الحجـــم:	7.2 كيلوبايت

الطلب الاول: هذه مصفوفة من المرتبة 3x4 و العنصر a32=-8
الطلب الثاني: a11=1
الطلب الثالث: a33=2
الطلب الرابع: a24=9

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

العمليات على المصفوفات

اذا كانت A و B مصفوفتان من الرتبة mXn فإن A+B هي مصفوفة ايضاً من الرتبة mXn ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في A و B, وكذلك A-B هي مصفوفة من الرتبة mXn ايضاً, وتحصل عليها بطرح العناصر المتناظرة.

حاصل ضرب مصفوفة A من الرتبة mXn في عدد ثابت k هي مصفوفة kA من الرتبة mXn وكل عنصر فيها يساوي العنصر المناظر له في المصفوفة A مضروباً في العدد الثابت k.

تنطبق على المصفوفة خصائص الاعداد مثل (الابدال - التجميع - التوزيع).

الاســـم:	جمع-مصفوفات.jpg
المشاهدات: 3619
الحجـــم:	21.4 كيلوبايت

لاحظ في هذا التمرين طبقنا ضرب مصفوفة بعدد ثابت, وجمع وطرح المصفوفات.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ضرب المصفوفات

يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. وعند ضرب المصفوفة A ذات الرتبة m×r بالمصفوفة B ذات الرتبة r×t ، فإن الناتج هو المصفوفة AB ذات الرتبة m×t.

الاســـم:	ضرب-مصفوفات.jpg
المشاهدات: 4011
الحجـــم:	27.5 كيلوبايت

خصائص ضرب المصفوفات هي نفسها خصائص الاعداد (التجميع - التوزيع - ضرب مصفوفة بعدد).

الاســـم:	ضرب المصفوفات.jpg
المشاهدات: 3465
الحجـــم:	20.7 كيلوبايت

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المحددات وقاعدة كرامر

كل مصفوفة مربعة لها محددة، وتسمى محددة المصفوفة من النوع 2×2 بمحددة الدرجة الثانية.

قيمة محددة الدرجة الثانية يساوي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي مطروحاً منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر.

تسمى محددات المصفوفات من الرتبة 3×3 محددات الدرجة الثالثة. ويمكن حساب هذه المحددات باستعمال قاعدة الأقطار.

الاســـم:	قاعدة-الاقطار.jpg
المشاهدات: 3178
الحجـــم:	36.3 كيلوبايت

الاســـم:	مساحة-مثلث.jpg
المشاهدات: 3036
الحجـــم:	26.0 كيلوبايت

تسمى المصفوفة التي عناصرها معاملات المتغيرات في نظام معادلات بعدة متغيرات بعد ترتيب النظام بمصفوفة المعاملات.

الاســـم:	قاعدة-كرامر.jpg
المشاهدات: 3297
الحجـــم:	22.1 كيلوبايت

الاســـم:	كرامر-ثلاث-معاد&#1.jpg
المشاهدات: 3121
الحجـــم:	32.2 كيلوبايت

سنحل مثال على كل حالة.

الاســـم:	محدد.jpg
المشاهدات: 2320
الحجـــم:	17.1 كيلوبايت

الاســـم:	10.jpg
المشاهدات: 2290
الحجـــم:	39.8 كيلوبايت
تأكد من الحل بنفسك

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

النظير الضربي للمصفوفة وانظمة المعادلات الخطية

مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة بحيث إذا ضُربت في أي مصفوفة أخرى من الرتبة نفسها كان الناتج هو المصفوفة الأخرى.
المصفوفة المحايدة لعملية الضرب I هي مصفوفة الوحدة وهي مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيسي 1 (من اعلى اليسار إلى أسفل اليمين), وباقي العناصر أصفار.

إذا كانت المصفوفتان A, B مربعتين ولهما الرتبة نفسها، وكان AB=BA=I فإن المصفوفة B تسمى نظيراً ضربياً للمصفوفة A.

الاســـم:	نظير-ضربي.jpg
المشاهدات: 2522
الحجـــم:	19.0 كيلوبايت

يمكن استعمال المصفوفات لتمثيل نظام من المعادلات وحله. فمثلا، يمكن كتابة معادلة مصفوفية على الشكل: (مصفوفة المعاملات ضرب مصفوفة المتغيرات يساوي مصفوفة الثوابت).

ثم حل المعادلة المصفوفية بالطريقة نفسها التي تحل بها أي معادلة أخرى من الشكل ax = b, ويكون الحل:
X=A-1.B حيث X مصفوفة المتغيرات و A-1 هي النظير الضربي لـA و B هي مصفوفة الثوابت.

في هذا التمرين سنتعلم حل معادلة مصفوفة ونتعلم ايجاد النظير الضربي لمصفوفة.

الاســـم:	معادلة-مصفوفية.jpg
المشاهدات: 2336
الحجـــم:	18.3 كيلوبايت
تأكد من صحة الحل بنفسك