شرح وتحضير وتهيئة درس العلاقات في المثلث للصف الاول الثانوي الفصل الاول الدراسي, سنتعلم في هذا الدرس المنصفات والقطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث, والمتباينات والمثلثات والبرهان غير المباشر, ومتباينة المثلث ومتباينات تتضمن مثلثين, هذا وسنحل العديد من التمارين والمسائل والامثلة ليكون الدرس سهل بسيط شامل لكل الطلاب.

المنصفات والقطع المتوسطة والارتفاعات في المثلث

العمود المنصّف لأحد أضلاع مثلث هو مستقيم أو قطعة مستقيمة أو نصف مستقيم يمر بنقطة منتصف ذلك الضلع ويكون عموديّاً عليه.
كلّ نقطة على العمود المنصف لقطعة مستقيمة تكون على بُعدين متساويين من طرفي القطعة.
كلّ نقطة تبعد بُعدين متساويين عن طرفي قطعة مستقيمة تقع على العمود المنصّف لتلك القطعة.

بما أنّ للمثلث ثلاثة أضلاع فإنّه يوجد ثلاثة أعمدة منصّفة لأضلاعه. والأعمدة المنصّفة لأضلاع المثلث تتقاطع في نقطة واحدة. وعندما تتقاطع ثلاثة مستقيمات أو أكثر في نقطة واحدة فإنها تسمى مستقيمات متلاقية، ونقطة تقاطعها تسمّى نقطة التلاقي. ونقطة تلاقي الأعمدة المنصّفة لأضلاع المثلث هي مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث.

مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث يبعد ابعاداً متساوية عن رؤوس المثلث.
كل نقطة على منصف الزاوية تكون على بعدين متساويين من ضلعي الزاوية.
كل نقطة على بعدين متساويين من ضلعي زاوية تقع على منصف تلك الزاوية.

مركز الدائرة الداخلية للمثلث يكون على ابعاد متساوية من اضلاع المثلث.

القطعة المتوسطة في مثلث هي قطعة مستقيمة طرفاها أحد رؤوس المثلث ونقطة منتصف الضلع المقابل لذلك الرأس.
لكل مثلث ثلاث قطع متوسطة تتقاطع في نقطة واحدة. تسمّى نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث مركز المثلث.

يبعد مركز المثلث عن كل رأس من رؤوس المثلث ثُلثي طول القطعة المتوسطة الواصلة بين ذلك الرأس ومنتصف الضلع المقابل له.

ارتفاع المثلث هو العمود النازل من أحد رؤوس المثلث على المستقيم الذي يحوي الضلع المقابل لذلك الرأس. ولكل مثلث ثلاثة ارتفاعات تتقاطع في نقطة واحدة تسمّى“ملتقى الارتفاعات“.

الاســـم:	منصف.jpg
المشاهدات: 2689
الحجـــم:	15.4 كيلوبايت

T تبعد ابعاداً متساوية عن رؤوس المثلث لذلك TQ=TR ومنه
2x=8
x=4
كما ان TP=TR ومنه
3y-1=8
3y=9
y=3
بما ان العمود المنصف يقسم ضلع المثلث الى قسمين متساويين فإن PL=LR ومنه
z+4=7
z=3

الاســـم:	قطعة متوسطة.jpg
المشاهدات: 2749
الحجـــم:	8.2 كيلوبايت

بما ان PS قطعة متوسطة فهي تقسم الضلع QS الى قسمين متساويين أي QS=SR ومنه
10x-7=5x+3
5x=10
x=2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المتباينات والمثلثات

قياس الزاوية الخارجيّة للمثلث أكبر من قياس كلٍّ من الزاويتين الداخليتين البعيدتين المناظرتين لها.

في أي مثلث، إذا كان أحد أضلاعه أطول من ضلع آخر، يكون قياس الزاوية المقابلة للضلع الأول (الأطول) أكبر من قياس الزاوية المقابلة للضلع الثان(الأقصر).
في أي مثلث، إذا كان قياس إحدى زواياه أكبر من قياس زاوية أخرى، يكون الضلع المقابل للزاوية الأولى (الأكبر) أطول من الضلع المقابل للزاوية الثانية (الأصغر).

الاســـم:	زوايا-خارجية.jpg
المشاهدات: 2317
الحجـــم:	10.9 كيلوبايت

الطلب الاول: بحسب متباينة الزوايا الخارجية فإن 1∠ أكبر من 2∠ كما أن 2∠ اكبر من 4∠ لذلك 1∠ هي الاكبر.
الطلب الثاني: 2∠ اكبر من 4∠ كما ان 4∠ اكبر من 6∠ لذلك 2∠ هي الاكبر.
الطلب الثالث: 7∠ اكبر من 5∠ كما ان 5∠ اكبر من 3∠ لذلك 7∠ هي الاكبر.
الطلب الرابع: بما ان 2∠ اكبر من 4∠و 4∠ اكبر من 6∠ و 8∠, ومنه تكون 4∠ هي الاكبر.

الاســـم:	علاقات-زوايا.jpg
المشاهدات: 2425
الحجـــم:	11.5 كيلوبايت

الطلب الاول: AJK∠ اكبر من KAJ∠ لأنها تقابل الضلع الاكبر.
الطلب الثاني: الزاويتين JYM∠ و MJY∠ متطابقتين لأنهما تقابلان ضلعين متطابقين.
الطلب الثالث: SMJ∠ اكبر من MJS∠ لأنها تقابل الضلع الاكبر.
الطلب الرابع: JMY∠ اكبر من MYJ∠ لأنها تقابل الضلع الاكبر.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

البرهان غير المباشر

التبرير غير المباشر فإنك تفترض أن النتيجة خطأ، ثم تبيّن أنّ هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض مع المعطيات أو مع أيّ حقيقة سابقة كتعريف، أو مسلمة، أو نظرية، أو نتيجة.

لكتابة برهان غير مباشر اتبع الخطوات:
1) افرض أنّ النتيجة خطأ.
2) بيّن أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض مع المعطيات، أو مع حقيقة سابقة، كتعريف، أو مسلمة، أو نظرية، أو نتيجة.
3) أشر إلى أنه بسبب افتراض خطأ النتيجة حصلنا على عبارة غير صحيحة، ولذلك يجب أن تكون النتيجة الأصلية صحيحة.

مثال: اكتب برهاناً غير مباشر لكل من:
المعطيات: a > 0
المطلوب إثبات أن: `(1)/(a)`>0
لنفترض ان `(1)/(a)`<0
لنأخذ قيم a موجبة مثل 5 وبحسب الفرض فإن `(1)/(5)` اصغر او يساوي الصفر وهذا غير صحيح.

المعطيات: n عدد فردي.
المطلوب إثبات ان n2 عدد فردي.
لنفترض ان n2 عدد زوجي ولنأخذ اي عدد فردي مثل 3 ونقوم بتربيعه 32=9 و العدد 9 ليس فردي وهذا يناقض الفرض لذلك الفرض ليس صحيح.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

متباينة المثلث

مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.

القطعة المستقيمة العمودية من نقطة الى مستقيم هي اقصر قطعة مستقيمة من تلك النقطة الى ذلك المستقيم.
القطعة المستقيمة العمودية من نقطة الى مستوى هي اقصر قطعة مستقيمة من تلك النقطة الى ذلك المستوى.

مثال: حدد اذا كانت هذه القياسات يمكن ان تشكل مثلثً:
3 و 4 و 5
مجموع طولي اي ضلعين اكبر من الضلع الثالثة
3+4>5
4+5>3
3+5>4
ومنه يمكن ان تشكل هذه القياسات مثلث

10 و 15 و 5
5+10=15
لا يمكن ان تكون مثلث لان طول الضلع الثالث ليس اكبر من مجموع طولي الضلعين الآخرين.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

متباينات تتضمن مثلثين

إذا طابق ضلعان في مثلث ضلعين في مثلث آخر، وكان قياس الزاوية المحصورة في المثلث الأول أكبر من قياس الزاوية المحصورة في المثلث الثاني، فإن الضلع الثالث في المثلث الأول أطول من الضلع الثالث في المثلث الثاني.
إذا كان ضلعان في مثلث يطابقان ضلعين في مثلث آخر ، وكان الضلع الثالث في المثلث الأول أطول من الضلع الثالث في المثلث الثاني، فإنّ قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين في المثلث الأول أكبر من قياس الزاوية المناظرة لها في المثلث الثاني.

الاســـم:	مثلثين.jpg
المشاهدات: 2497
الحجـــم:	9.9 كيلوبايت

المثال الاول:
CD>AB لأنه يقابل الزاوية الاكبر.
المثال الثاني: بما ان المثلث متطابق الاضلاع فقياس زواياه 60 لذلك
x+5>3x-7
2x>12
x>6