شرح وتحضير وتهيئة درس الإحصاء والاحتمال للصف الثالث المتوسط الفصل الدراسي الثاني, سنتعلم تصميم دراسة مسحية وتحليل نتائج الدراسة المسحية, وإحصائيات العينة ومعالم المجتمع والتباديل والتوافيق واحتمالات الحوادث المركبة, وحل تمارين ومسائل وامثلة لتبسيط الافكار لجميع الطلاب وجعلها سهلة.

تصميم دراسة مسحية

تُعد العينة جزءً من مجموعة أكبر تُسمى المجتمع, وحيث أن فحص كل عنصر في المجتمع أمر غير عملي, يتم اختيار عينة لتمثل هذا المجتمع.

أساليب جمع البيانيات هي:
الدراسة المسحية: تؤخذ البيانات من استجابات أفراد عينة من المجتمع للتوصل إلى استنتاجات عامة حول المجتمع.
الدراسة القائمة على الملاحظة: تُسجل البيانات بعد ملاحظة أو مشاهدة العينة لمقارنة ردود الافعال والتوصل الى استنتاجات حول استجابات المجتمع.
التجربة: تُسجل البيانات بعد تغيير العينة, للتوصل إلى أستنتاجات عامة حول ما يمكن أن يحدث خلال حادثة ما.

اذا كانت طريقة اختيار العينة تعطي تفضيلاً لمجموعة معينة على مجموعة أخرى فإن العينة تكون عينة متحيزة.
وتكون العينة غير متحيزة اذا كان لكل فرد منها الاحتمال نفسه في الاختيار, وتُسمى عينة عشوائية.

العينات العشوائية أنواع وهي:
العينة العشوائية البسطية: العينة التي لها فرصة الاختيار نفسها كأي عينة أخرى من المجتمع.
العينة العشوائية الطبقية: يقسم المجتمع إلى فئات متماثلة غير متدخلة, ثم يتم اختيار عينة من كل واحدة من هذه الفئات.
العينة العشوائية المنتظمة: العينة التي يُختار أفرادها تبعاً لزمن معين أو فترة زمنية معينة.

مثال: يريد القائمون على إعداد مجلة مدرسة اختيار تصميم لغلافها من بين خمسة تصاميم, لذا فقد اختير عشرة من طلاب المدرسة عشوائياً للأنتقاء من بين هذه التصاميم, ما العينة والمجتمع الذي اختيرت منه, ثم صنف أسلوب جمع البيانات.
العينة هي عشرة طلاب تم أختيارهم عشوائياً.
المجتمع هو جميع طلاب هذه المدرسة.
الدراسة مسحية لأنها تعتمد على استجابات افراد العينة.

مثال: سُئل كل خامس عشر متسوق في متجر ملابس عن نوع الهدية التي يود ان تُقدم له, هل العينة متحيزة أم لا؟
العينة متحيزة, لأن جميع المتسوقين يفضلون الملابس, لذلك اجاباتهم لن تكون متحيزة.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تحليل نتائج الدراسة المسحية

اذا اردت تلخيص نتائج دراسة مسحية باستعمال مقاييس النزعة المركزية وييمكنك استخدامهم بحسب:
المتوسط الحسابي: عندما لا يوجد قيم متطرفة في مجموعة البيانات.
الوسيط: عندما توجد قيم متطرفة في مجموعة البيانات ولكن لا توجد فجوات كبيرة في وسط البيانات.
المنوال: عندما توجد اعداد متكررة في مجموعة البيانات.

بعض البيانات لا يمكن تحليلها باستعمال الطرق الاحصائية, لكن البيانات الكمية التي تُعطى بصورة قيم عددية يمكن تحليلها, بينما البيانات النوعية لا يمكن أن تأخذ قيمة عددية.

مثال: ترغب شركة اعادة تدوير الاوراق الزائدة فجمعتها في رزم ارتفاع الواحدة منها ٥٠ سم, وقد احصى خالد عدد الرزم في نهاية كل شهر من السنة فكانت: ١٥, ١٢, ١٤, ١٥ , ١٨, ١٥, ١٣, ١٤ , ١٣ , ١٢ , ١٨, ١٥, أي مقاييس النزعة المركزية هو الانسب لتمثيل البيانات؟
البيانات لا تملك قيم متطرفة, لذلك افضل مقياس هو المتوسط الحسابي.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

إحصائيات العنية ومعالم المجتمع

تُستمعل إحصائيات العينة للتوصل إلى استنتاجات حول المجمتع كاملاً, وهو ما يسمى "الاحصاء الاستدلالي".
الاحصائي: هو مقياس يصف إحدى خصائص العينة.
المَعلمة: هي مقياس يصف احدى خصائص المجتمع.

تُسمى البيانات التي تتضمن متغيراً واحداً "بيانات وحيدة المتغير", ويمكن التعبير عنها بمقاييس النزعة المركزية, كما ويمكن التعبير عنها أيضاً بمقاييس التشتت مثل المدى والربيعات والمدى الربيعي.

الانحراف المتوسط: هو متوسط القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي لمجموعة البيانات, ولإيجاد الانحراف المتوسط اتبع هذه الخطوات:
١-أوجد المتوسط الحسابي.
٢-أوجد مجموع القيم المطلقة للفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي.
٣-أقسم هذا المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات.

الانحراف المعياري هو القيمة التي تُحسب لتدل على مدى تباعد قيم مجموعة البيانات عن متوسطها الحسابي, ويرمز له بالرمز "ع".
التباين: هو مربع الانحراف المعياري لتلك البيانات.

لإيجاد التباين والانحراف المعياري, اتبع عذع الخطوات:
١-أوجد المتوسط الحسابي.
٢-أوجد مربع الفرق بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي, ثم اجمع هذه المربعات, واقسم المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات لتحصل على التباين.
٣-أوجد الانحراف المعياري بإيجاد الجذر التربيعي للتباين.

مثال: أوجد المتوسط الحسابي والتباين والانحراف المعياري لمجموعة البيانات: ٣ , ٤ , ١٥, ٢١, ١٧
المتوسط الحسابي=`(١٧ + ٢١ + ١٥ + ٤ + ٣)/(٥)`=١٢
لإيجاد التباين نحسب الفرق بين مربع كل قيمة والمتوسط الحسابي
(٣ - ١٢)٢ + (٤ - ١٢)٢ + (١٥ - ١٢)٢ + (٢١ - ١٢)٢ + (١٧ - ١٢)٢=٢٦٠
نقسم المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات
ع٢ = `(٢٦٠)/(٥)`=٥٢
لإيجاد الانحراف المعياري نأخذ الجذر التربيعي للتباين.
ع=`sqrt(٥٢)`=٧,٢ تقريباً.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

التباديل والتوافيق

تُسمى قائمة جميع الاشخاص أو الاشياء في مجموعة معينة "فضاء العينة", وعندما تُنظم العناصر بحيث يكون ترتيبها مهماً وتُكتب جميع التراتيب الممكنة لهذه العناصر, يُمسى كل من هذه التراتيب تبديلاً.
المضروب: مضروب العدد الصحيح الموجب ن هو ناتج ضرب الاعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن ن أو تساويه, أي:
ن!=ن(ن-١)(ن-٢)....١
احفظ أن ٠!=١

التباديل: عدد التباديل لعناصر عددها ن مأخوذة (ر) عنصراً في كل مرة هو ناتج قسمة ن! على (ن-ر)!.
نلر=`(!ن)/(!(ر-ن))`

يُسمى عدد طرق التشكيل الممكنة لمجموعة عناصر ليس لترتيبها اهمية بالتوافيق.
التوافيق:عدد التوافيق لعناصر عددها ن مأخوذة من (ر) عنصراً كل مرة يساوي ناتج قسمة ن! على (ن-ر)!ر!
نقر=`(!ن)/(!ر!(ر-ن))`

مثال: اصطف الطلاب الأربعة الأوائل في فصول الصف الثالث المتوسط في إحدى المدارس في صف لالتقاط صورة لهم؛ لعرضها على لوحة الشرف في المدرسة. فبكم طريقة يمكن أن ينظِّم المصور الطلاب الأربعة ليلتقط الصورة؟
يمكن ان يصطفوا بـ ٤ X ٣ X ٢ X ١=٢٤ طريقة.

مثال: يعمل قاسم في محل لبيع المجوهرات. وقد طلب منه مديره أن يضع ثلاثاً من القلائد الاثنتي عشرة في خزانة العرض الأمامية. فبكم طريقة يمكن أن يرتب قاسم القلائد في خزانة العرض؟
بما ان الترتيب مهم فيجب استخدام التباديل.
١٢ل٣=`(!١٢)/(!(١٢-٣))`=١٢ X ١١ X ١٠=١٣٢٠

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

احتمالات الحوادث المركبة

اذا كانت الحادثتان أ , ب مستقلتين فإن احتمال وقوعهما يساوي حاصل ضرب احتمال الحادثة أ في أحتمال الحادثة ب.
ح(أ وَ ب)=ح(أ)Xح(ب)

اذا كانت الحادثتان أ , ب غير مستقلتين, فإن احتمال وقوعهما معاً يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحادثة أ في أحتمال وقوع الحادثة ب بعد وقوع الحادثة أ.
ح(أ وَ ب)=ح(أ)Xح(ب بعد أ).

الحوادث المتنافية: إذا كانت الحادثتان أ وَ ب متنافيتين فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتمالي الحادثتين.
ح(أ أو ب)=ح(أ) + ح(ب)

الحوادث غير المتنافية: اذا كانت الحادثتان أ وَ ب غير متنافيتان فإن احتمال وقوع أ أو وقوع ب يساوي مجموع احتماليهما ناقص احتمال وقوع الحادثتين معاً.
ح(أ أو ب)=ح(أ) + ح(ب) - ح(أ وَ ب)

مثال: يحتوي صندوق على ٨ كرات حمراء و ٨ سوداء و ٨ بيضاء و ٨ زرقاء، وقد رقمت كرات كل لون بالارقام من ١-٨ ثم سُحبت كرة واحدة عشوائياً من الصندوق, احسب احتمال:
ح(٢ أو ٨)= ح(٢) + ح(٨)= `(٤)/(٣٢)` + `(٤)/(٣٢)` = `(٨)/(٣٢)` = `(١)/(٤)`
ح(حمراء او زرقاء)= ح(حمراء) + ح(زرقاء)= `(٨)/(٣٢)` + `(٨)/(٣٢)` = `(١٦)/(٣٢)`= `(١)/(٢)`
ح(زوجي أو سوداء) = ح(زوجي) + ح(سوداء) - ح(زوجي و سوداء)= `(١٦)/(٣٢)` + `(٨)/(٣٢)` - `(٤)/(٣٢)`= `(٢٠)/(٣٢)`= `(٥)/(٨)`