شرح وتحضير وتهيئة درس التحليل والمعادلات التربيعية ثالث متوسط فصل ثاني, سنشرح تحليل وحيدات الحد واستعمال خاصية التوزيع, المعادلات التربيعية والفرق بين مربعين والمربعات الكاملة, حل تمارين ومسائل وامثلة لجعل الدرس بسيط وسهل لجميع الطلاب.

تحليل وحيدات الحل

تحليل وحيدات الحد يُشبه تحليل الاعداد الكلية, وتكون وحيدة الحد بالصيغة التحليلية اذا عبر عنها بحاصل ضرب أعداد أولية ومتغيرات بأس ١.
عند كتابة وحيدة الحد بالصيغة التحليلية نقول: إننا حللنا وحيدة الحد تحليلاً تاماً.

القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) لعددين أو أكثر هو أكبر عدد يكون عاملاً لكل من هذه الأعداد, ويمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر لوحيدتي حد أو أكثر بطريقة مشابهة.

مثال: أوجد (ق.م.أ) لوحيدتي الحد ٨س٢ص٥ , ١٦س.ص٣.
حلل كل وحيدة حد تحليلاً تاماً
٨س٢ص٥=٢ X ٢ X ٢ X س X س X ص X ص Xص X ص X ص
١٦س.ص٣= ٢ X ٢ X ٢ X ٢ X س X ص X ص X ص
نقوم بأخراج العوامل المتشابهة من الحدين.
٢ X ٢ X ٢ X س X ص X ص X ص = ٨س.ص٣

مثال: خلل وحيدة الحد -٣٨ر.ب٢ن٢ تحليلاً تاماً.
-٣٨ر.ب٢ن٢=-٢ X ١٩ X ب X ب X ن X ن

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

أستعمال خاصية التوزيع

استخدام خاصية التوزيع ضرورية لأعادة كتابة كل حد بأستعمال (ق.م.أ), حيث يجب تحليل كل حد في البداية ثم ايجاد (ق.م.أ) ثم استخدام خاصية التوزيع لكتابة جمع الحدود بشكل مختصر.

يمكن تحليل كثيرة الحدود بتجميع الحدود "التحليل بتجميع الخدود", إذا توافرت جميع الشروط التالية:
١-تتكون كثيرة الحدود من أربعة حدود أو أكثر.
٢-يوجد للحدود التي يمكن تجميعها معاً عوامل مشتركة.
٣-يوجد عاملان مشتركان متساويان أو أن أحدهما نظير جمعي للآخر.

إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفراً, فيجب أن يكون احدهما على الاقل صفراً.

مثال: استعمل خاصية التوزيع لتحليل ١٢ل.ك٢ + ٦ل٢ك + ٢ل٢ك٢:
١٢ل.ك٢ = ٢ X ٢ X ٣ X ل X ك X ك
٦ل٢ك = ٢ X ٣ X ل X ل X ك
٢ل٢ك٢ = ٢ X ل X ل X ك X ك
(ق.م.أ)=٢ X ل X ك
١٢ل.ك٢ + ٦ل٢ك + ٢ل٢ك٢ = ٢ل.ك(٦ك) + ٢ل.ك(٣ل) + ٢ل.ك(ل.ك)
=٢ل.ك(٦ك + ٣ل + ل.ك)

مثال: حلل ٣ب.جـ -٢ب -١٠ + ١٥جـ .
(٣ب.جـ -٢ب) + (-١٠ + ١٥جـ)
ب(٣جـ -٢) + ٥(-٢ +٣جـ)
سنلاحظ ايضاً أن (٣جـ -٢) مشتركة بين الحدين.
(٣جـ -٢)(ب + ٥)

مثال: حُل المعادلة (٤م + ٢)(٣م - ٩)=٠ :
إما ٤م + ٢=٠
٤م=-٢
م=-`(١)/(٢)`

أو ٣م - ٩=٠
٣م =٩
م=٣
الجذران هما -`(١)/(٢)` و ٣

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المعادلات التربيعية: س٢ + ب.س + جـ=٠

لتحليل ثلاثة حدود على الصورة س٢ + ب.س + جـ, أوجد عددين صحيحين م,ن مجموعهما ب, وناتج ضربهما جـ, ثم أكتب س٢ + ب.س + جـ على الشكل (س+م)(س+ن).

مثال: حل المعادلة س٢ + ١٠س + ٩=٠
لنفكر قليلاً: ما هما العددين اللذان مجموعهما ١٠ و ضربهما ٩, سنجد بكل بساطة ان العددان هما ٩ و ١
س٢ + ١٠س + ٩=٠
(س + ٩)(س+١)=٠
إما س + ٩ = ٠
س=-٩
أو س+١=٠
س=-١

مثال: حل المعادلة س٢ -١٥س + ٥٤=٠
ما العددان اللذان مجموعهما -١٥ وضربهما ٥٤؟ سنجد ان العددان هما -٩ و -٦
س٢ -١٥س + ٥٤=٠
(س-٩)(س-٦)=٠
إما س-٩=٠
س=٩
أو س-٦=٠
س=٦

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المعادلات التربيعية: أس٢ + ب.س + جـ=٠

لتحليل ثلاثة حدود على الصورة أس٢ + ب.س + جـ=٠, أوجد عددين صحيحين م,ن مجموعهما يساوي ب, وناتج ضربهما يساوي أ.جـ, ثم أكتب أس٢ + ب.س + جـ على الصورة أس٢ +م.س +ن.س+جـ, ثم حلل بتجميع الحدود (يوجد طريقة أسهل من هذه بكثير, ولكن سنتركها للمستقبل حتى نلتزم بالمنهاج الموضوع).

تُسمى كثيرة الحدود التي لا يمكن كتابتها على صورة ناتج ضرب كثيرتي حدود بمعاملات صحيحة "كثيرة حدود أولية".

مثال: حل المعادلة ٣س٢ -١٠س + ٨ =٠.
لنفكر: ما هما العددين الذين مجموعهما -١٠ وضربهما ٣ x ٨=٢٤؟ بكل بساطة هما -٦ و -٤
٣س٢ -٦س -٤س + ٨ =٠
٣س(س-٢) -٤(س-٢)=٠
(٣س-٤)(س-٢)=٠
إما ٣س-٤=٠
٣س=٤
س=`(٤)/(٣)`
او س-٢=٠
س=٢

مثال: حل المعادلة ٣س٢ -١١س -٢٠=٠
لا يوجد عددان جمعهما -١١ وضربهما -٦٠, لذلك هي كثيرة حدود أولية.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المعادلات التربيعية: الفرق بين مربعين

تذكر أنك تعلمت ناتج ضرب مجموع وحيدتي حد في الفرق بينهما, ويشير ناتج الضرب هذا إلى الفرق بين المربعين, لذا فالصورة المحللة للفرق بين مربعين تُسمى ناتج ضرب مجموع وحيدتي حد في الفرق بينهما وهي على الشكل:
أ٢ + ب٢ = (أ+ب)(أ-ب)

مثال: حلل كثيرة الحدود س٢
س٢-٩=(س+٣)(س-٣)

مثال: حلل كثيرة الحدود ٥س٣ -٢٠س
لنخرج الحد ٥س
٥س(س٢ -٤)
٥س(س+٢)(س-٢)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المعادلات التربيعية: المربعات الكاملة

يجب ان يكون الحد الاول مربع كامل والحد الثالث مربع كامل, والحد الأوسط يجب ان يكون ضعفي ناتج ضرب الجذر التربيعي لكل من الحدين الاول والثالث.

لحل المعادلة التربيعية على الصورة س٢=ن, خذ الجذر التربيعي لكل طرف.

مثال: حلل كثيرة الحدود ٢٥س٢ +٦٠س +٣٦.
هل الحد الاول مربع كامل؟ نعم لان ٢٥س٢ = (٥س)٢
هل الحد الثاني مربع كامل؟ نعم لأن ٣٦=(٦)٢
هل الحد الأوسط يساوي ضعف الجذر التربيعي للحد الاول والثالث؟ نعم, لأن ٢ x ٥س x ٦= ٦٠س
٢٥س٢ +٦٠س +٣٦=(٥س + ٦)٢