شرح وتحضير وتهيئة درس انظمة المعادلات الخطية للصف الثالث المتوسط الفصل الدراسي الاول, سنتعلم في هذا الفصل حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً وبالتعويض وبالحذف باستعمال الجمع والطرح, وحل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب, وتطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين, بالاضافة الى حل العديد من التمارين والمسائل والامثلة لتكون الفكرة سهلة وبسيطة لجميع الطلاب.

حل نظام معادلتين خطيتين بيانياً

اذا كان لدينا معادلتين فهذا يُسمى نظام من معادلتين, ويُسمى الزوج المرتب الذي يُمثل حلاً لكلا المعادلتين حلاً للنظام.
إذا كان للنظام حل واحد على الاقل يُسمى نظاماً متسقاً, وتتقاطع تمثيلاته البيانية في نقطة واحدة أو تشكل مستقيماً واحداً.
اذا كان للنظام حل واحد فقط, يُسمى نظاماً مستقلاً.
اذا كان للنظام عدد لا نهائي من الحلول يُسمى نظاماً غير مستقل, وهذا يعني وجود عدد غير محدود من الحلول تحقق كلتا المعادلتين.
اذا لم يكن للنظام أي حل, يُسمى نظاماً غير متسق, وتُشكل تمثيلاته البيانية مستقيمات متوازية.

من الطرائق المستعملة في حل نظام من المعادلات تمثيلها بيانياً في المستوى البياني نفسه, وإيجاد النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمين والتي تمثل حل النظام.

مثال: حل المعادلتين الآتيتين بيانياً:
ص=س+٣
ص=٢س +٤

الاســـم:	حل-بياني.jpg
المشاهدات: 1070
الحجـــم:	18.2 كيلوبايت

نقوم بتمثيل المعادلتين بيانياً, ونرسم المستقيمين, ونلاحظ انهما يتقاطعان في نقطة (-١ , ٢), عوض هذه النقطة وتحقق من صحة الحل.
ص=س+٣
٢=-١ +٣
٢=٢

ص=٢س +٤
٢=٢(-١)+٤
٢=٢

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل نظام معادلتين خطيتين بالتعويض

لحل نظام معادلتين خطيتين بطريقة التعويض اتبع الخطوات التالية:
١-حل أحدى المعادلتين على الاقل باستعمال احد المتغيرين اذا كان ذلك ضرورياً.
٢-عوض المقدار الناتج من الخطوة الاولى في المعادلة الثانية, ثم حلها.
٣-عوض القيمة الناتجة من الخطوة الثانية في أي من المعادلتين وحلها لإيجاد قيمة المتغير الثاني, واكتب الحل كزوج مرتب.

مثال: حل المعادلتين بطريقة التعويض:
٢س+ص=٣
س+ص=٢

من المعادلة الاولى سنوجد ص
٢س+ص=٣
نطرح ٢س من الطرفين
ص=-٢س +٣
نعوض ص في المعادلة الثانية
س+ -٢س +٣=٢
-س=-١
س=١

نعوض س=١ في اي معادلة
١ + ص=٢
ص=١
ومنه حل المعادلتين هو (١ , ١)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل نظام معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح

لحل نظام معادلتين خطيتين بطريقة الحذف اتبع الخطوات التالية:
١-اكتب النظام على ان يكون الحدان المتشابهان اللذان معامل احدهما معكوس للآخر بعضهما فوق بعض.
٢-اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من أحد المتغيرين, ثم حل المعادلة.
٣-عوض القيمة الناتجة في الخطوة الثانية في أحدى المعادلتين وحلها لإيجاد المتغير الثاني, واكتب الحل كزوج مرتب.

مثال: حل المعادلتين بطريقة الحذف:
-٤س+٥ص=١٧
٤س+٦ص=-٦
نجمع المعادلتين
١١ص=١١
نقسم الطرفين على ١١
ص=١
نعوض ص=١ في اي من المعادلتين
-٤س +٥=١٧
-٤س=١٢
س=-٣

ومنه حل المعادلتين (-٣ , ١)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الضرب

لحل جملة معادلتين بالحذف اتبع الخطوات التالية:
١-اضرب احدى المعادلتين على الاقل في عدد ثابت للحصول على معادلتين فيهما حدان احدهما معكوس الآخر.
٢-اجمع المعادلتين او اطرحهما للتخلص من احد المتغيرين, ثم حل المعادلة.
٣-عوض عن قيمة المتغير الناتجة في الخطوة الثانية في احدى المعادلتين وحلها لإيجاد قيمة المتغير الثاني, واكتب الحل على صورة زوج مرتب.

مثال: حل المعادلتين بطريقة الحذف:
٤س +٢ص=-١٤
٥س +٣ص=-١٧
نضرب المعادلة الاولى بـ-٣ والثانية بـ٢
-١٢س -٦ص=٤٢
١٠س +٦ص=-٣٤
نجمع المعادلتين
-٢س = ٨
س=-٤
نعوض في احدى المعادلتين
-١٦ +٢ص=-١٤
٢ص=٢
ص=١
ومنه حل المعادلتين هو (-٤ , ١)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين

يمكنك اختيار الطريقة التي تريدها لحل معادلتين وذلك بيانياً او بالطريقة التعويض او الحذف, وتعبتر الطرق الجبرية اكثر سهولة ودقة من ايجاد الحل بيانياً حيث يتطلب جهد ووقت اطول.

مثال: حل المعادلتين بأي طريقة تريدها:
٣س-٤ص=-٥
-٣س-٦ص=-٥
بما ان هناك حد معكوس للآخر سنقوم بالجمع مباشرةً
-١٠ص=-١٠
ص=١
نعوض في احدى المعادلتين
٣س-٤=-٥
٣س=-١
س=-`(١)/(٣)`
ومنه حل المعادلتين (-`(١)/(٣)` , ١)