شرح وتحضير وتهيئة درس الدوال الخطية للصف الثالث المتوسط الفصل الدراسي الثاني, سنتعلم ونراجع في هذا الدرس العلاقات والدوال وتمثيل المعادلات الخطية بيانياً وحل المعادلات الخطية بيانياً ومعدل التغير والميل والمتتابعات الحسابية كدوال خطية, بالاضافة الى حل العديد من التمارين والمسائل والامثلة لتبسيط الافكار وجعلها سهلة لجميع الطلاب.

العلاقات

النظام الاحداثي يتكون من تقاطع خطي اعداد هما: المحور الافقي ويسمى المحور السيني, والمحور الرأسي ويسمى المحور الصادي.
نقطة الاصل هي دائماً (٠,٠).
الزوج المرتب هما عددان يُكتبان على الصورة (س,ص).
تُسمى قيمة س "الأحداثي السيني", وتمثل المسقط الافقي للنقطة.
تُسمى قيمة ص "الأحداثي الصادي", وتُمثل المسقط الرأسي للنقطة.
تُسمى مجموعة الازواج المرتبة "علاقة", ويُمكن وصف هذه العلاقة بعد طرائق: أزواج مرتبة, تمثيل بياني, جدول, مخطط سهمي.
يُطلق على مجموعة الاعداد الأولى في الأزواج المرتبة "المجال", وعلى مجموعة الاعداد الثانية "المدى".
يُسمى المتغير الذي يحدد قيم مخرجات العلاقة "المتغير المستقل", أما المتغير الذي تعتمد قيمته على قيم المتغير المستقل فيسمى "المتغير التابع".

الاســـم:	العلاقات.jpg
المشاهدات: 3080
الحجـــم:	33.6 كيلوبايت

المثال الاول: مجال الدالة: {٤, -٢, ٥}, المدى:{٣, ٢, -٦}
حل المثال الثاني بنفسك.

مثال: حدد كلاً من المتغير المستقل والمتغير التابع في كل علاقة فيما يأتي:
-زيادة درجة حرارة مُركب داخل وعاء محكم الأغلاق يزيد من الضغط داخل الوعاء.
زيادة درجة الحرارة هي متغير مستقل, أما زيادة الضغط هو متغير تابع لزيادة درجة الحرارة.

-يشتري جمال بطاقات له ولأصدقائه لدخول حديقة الحيوان, وكلما اشترى بطاقات أكثر كان المبلغ المدفوع أكبر.
شراء البطاقات هو متغير مستقل, أما ازدياد المبلغ المدفوع هو متغير تابع لشراء البطاقات.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الدوال

الدالة هي علاقة تربط بين المدخلات بالمخرجات, على ان يكون هناك مُخرجة واحدة فقط لكل مدخلة.
تُسمى الدالة التي تُمثل بيانياً بنقط غير متصلة "دالة منفصلة", أما الدالة التي تُمثل بخط أو منحنى أملس فتسمى "دالة متصلة".
يمكنك استعمال اختبار الخط الرأسي لتتحقق اذا كان التمثيل البياني يُمثل دالة أم لا, فإذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة, فإنه لا يُمثل دالة, وإلا فالعلاقة دالة.
الدالة التي يختلف اسها عن ١ تُسمى دالة غير خطية (لأنها ليست معادلة مستقيم), وتمثيلها البياني ليس خطاً مستقيماً.

الاســـم:	دوال.jpg
المشاهدات: 2176
الحجـــم:	27.9 كيلوبايت

المثال الاول: دالة, لأن كل مدخلة لها مخرجة واحدة فقط.
المثال الثاني: ليست دالة, لان للمدخلة ٦ مخرجتين.
المثال الثالث: ليست دالة, لان للمدخلة ٢ مخرجتين.
المثال الرابع: دالة, لكل مدخلة مخرجة واحدة فقط.
المثال الخامس: دالة, لأنها لا تقطع الخط الرأسي بأكثر من نقطة.
المثال السادس: ليس دالة, فهي تقطع الخط الرأسي باكثر من نقطة.

مثال: اذا كان د(س)=٦س + ٧, هـ(س)=س٢ -٤ فأوجد:
د(-٤)=٦(-٤) + ٧=-١٧
د(ر -٢)=٦(ر -٢) + ٧=٦ر -١٢ + ٧=٦ر -٥
هـ(٥)= ٢٥ - ٤=٢٥ - ٤= ٢١
ه(-ب)= (-ب)٢ -٤= ب٢

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تمثيل المعادلات الخطية بيانياً

المعادلة الخطية هي المعادلة التي تمثل بيانياً بخط مستقيم, وتكتب على صورة أس + ب.ص=جـ, وتُسمى الصورة القياسية للمعادلة الخطية, ويُسمى جـ الحد الثابت, وتمثل أس وب.ص الحدود الجبرية.
يمكن تمثيل المعادلة الخطية في المستوي الاحداثي, ويُسمى الاحداثي السيني للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات المقطع السيني, ويُسمى الاحداثي الصادي للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات المقطع الصادي.

لإيجاد المقطع الصادي اجعل س=٠ وحل المعادلة, ولإيجاد المقطع السيني اجعل ص=٠ وحل المعادلة.

مثال: مثل المعادلة ص=٤+٢س بيانياً باستعمال المقعطين السيني والصادي.
نجعل س=٠ ومنه ص=٤ ومنه يقطع المحور الصادي في النقطة (٠, ٤)
نجعل ص=٠ ومنه ٤+٢س=٠
س=-٢ ومنه يقطع المحور السيني في النقطة (-٢, ٠)

الاســـم:	مقاطع.jpg
المشاهدات: 1808
الحجـــم:	16.7 كيلوبايت

مثال: مثل المعادلة س+٢ص=٤ بيانياً باستعمال الجدول.
س=٠ ومنه ص=٢ وتصبح لدينا النقطة (٠ , ٢)
س=٢ ومنه ص=١ وتصبح لدينا النقطة (٢ , ١)
س=٤ ومنه ص=٠ وتصبح لدينا النقطة (٤ , ٠)

الاســـم:	جدول.jpg
المشاهدات: 1922
الحجـــم:	16.8 كيلوبايت

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حل المعادلات الخطية بيانياً

أبسط دالة خطية هي الدالة د(س)=س وتُسمى الدالة المولدة (الأم) لمجموعة الدوال الخطية, مجالها جميع الاعداد الحقيقية ومداها جميع الاعداد الحقيقية.

حل المعادلة أو الجذر هو أي قيمة تجعل المعادلة صحيحة. وللمعادلة الخطية جذر واحد على الأكثر, ويمكنك ايجاد جذر المعادلة بتمثيل الدالة المرتبة بها, ولكتابة هذه الدالة بمعادلة, عوض صفراً بدلاً من د(س).

تُسمى قيم س التي تجعل د(س)=٠ "أصفار الدالة".

مثال: حل كل معادلة فيما يأتي بيانياً ثم تحقق من إجابتك جبرياً:
-٢س+٦=٠
نضع د(س) بدلاً من ٠ لتصبح الدالة:
د(س)=-٢س+٦
س=١ فإن د(س)=٤
س=٢ فإن د(س)=٢
س=٣ فإن د(س)=٠

الاســـم:	دالة-جبريا.jpg
المشاهدات: 1734
الحجـــم:	16.9 كيلوبايت

للتأكد من الحل جبرياً:
-٢س+٦=٠
-٢س=-٦
س=٣

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

معدل التغير والميل

معدل التغير هو نسبة تصف معدل تغير كمية بالنسبة لتغير كمية اخرى, ونصف معدل التغير:
معدل التغير=(التغير في ص)÷(التغير في س)
الدوال الخطية لها معدل تغير ثابت.

ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة التغير في الاحداثي الصادي إلى التغير في الاحداثي السيني كلما انتقلت من نقطة إلى أخرى, وبالتالي يمكن استعماله لوصف معدل التغير.


الاســـم:	معدل-التغير.jpg
المشاهدات: 1813
الحجـــم:	15.4 كيلوبايت

المثال الاول: معدل التغير ثابت ومنه تكون الدالة خطية.
المثال الثاني: معدل التغير غير ثابت, ومنه تكون الدالة غير خطية.

مثال: أوجد قيمة ميل المستقيم المار بالنقطتين (-٤ , ٣) و (-٢ , ١).
م=`(٣ - ١)/(٤ + ٢-)` =-١

مثال: أوجد قيمة ر التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين (-٤, ر) و (-٨ , ٣) هو م=-٥
-٥=`(ر - ٣)/(٤ + ٨-)`
٣ -ر=٢٠
ر=-١٧

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

المتتابعات الحسابية كدوال خطية

المتتابعة هي مجموعة من الأعداد, بترتيب معين تُسمى حدود المتتابعة.
بما أن الفرق بين كل حدين متتالين ثابت فهي متتابعة حسابية, ويُسمى الفرق بين الحدين المتتالين الأساس ويرمز إليه بالرمز د.

المتتابعة الحسابية هي نمط عددي يزيد أو ينقص بمقدار ثابت يُسمى أساس المتتابعة.
يمكنك استعمال أساس المتتابعة الحسابية لإيجاد الحد التالي فيها.

يُعبر عن الحد النوني لمتتابعة حسابية حدها الأول أ١ وأساسها د بالصيغة: أن١ + (ن-١)د, حيث ن عدد صحيح موجب.

مثال: اكتب معادلة الحد النوني لكل متتابعة حسابية فيما يأتي:
-٣, -٨, -١٣, -١٨ ........
اساس المتتابعة -٥

أن١ + (ن-١)د
أن=-٣ + (ن-١)-٥
أن=-٣ -٥ن +٥
أن=-٥ن +٢

-٢, ٣, ٨, ١٣, ................ (حلها بنفسك)