شرح وتحضير وتهيئة درس الجبر: الاعداد النسبية للصف الثاني المتوسط الفصل الدراسي الاول, سنشرح في هذا الدرس الاعداد النسبية ومقارنتها وترتيبها, وضرب وقسمة الاعداد النسبية, جمع الاعداد النسبية ذات المقامات المتشابهة وطرحها, وجمع وطرح الاعداد النسبية مختلفة المقام, والقوى والاسس, والصيغة العلمية, بالاضافة الى حل العديد من التمارين والامثلة لجعل الفكرة سهلة وبسيطة لجميع الطلاب.

الاعداد النسبية

يُسمى العدد الذي يُكتب على شكل كسر "بسط ومقام" بالعدد النسبي, حيث ان الاعداد الصحيحة مثل -٢ هو عدد نسبي لأنه يساوي -`(١)/(٢)`, كما ان العدد `(١)/(٢)`٥ نسبي لأننا يساوي `(١١)/(٢)`, ومنه تعتبر الاعداد الصحيحة والاعداد الكسرية اعداد نسبية.

نُسمي الكسر العشري التي ارقامه محدودة بالكسر العشري المنتهي, والتي تنتهي عملية القسمة بدون باقي.
ونُسمي الكسر العشري التي لا تنتهي ارقامه بالكسر العشري الدوري, والتي لا تنتهي عملية القسمة ودائماً يوجد باقي, ونكتبه ونضع فوقه خط وبجانبه ثلاث نقاط دلالة على انه دوري.

مثال: اكتب كل كسر اعتيادي او عدد كسري على صورة كسر عشري:
`(٥)/(٩)` و `(٥)/(٦)`٤

الاســـم:	الاعداد-النسبي&#15.jpg
المشاهدات: 1530
الحجـــم:	10.5 كيلوبايت

المثال الاول: بعد القيام بعملية القسمة الباقي سيكون دائماً ٥ ولن تنتهي عملية القسمة, لذلك الرقم دوري.
المثال الثاني: سنكتب `(٦)/(٥)`٤ على شكل عدد نسبي هو `(٦)/(٢٩)`, سنقوم بالقسمة ونلاحظ انه عند الوصول للرقم ٣ سيكون الباقي دائماً ٢ ولن تنتهي عملية القسمة, ومنه رقم دوري.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

مقارنة الاعداد النسبية وترتيبها

يمكنك استعمال التقدير في بعض الاحيان لمقارنة الاعداد النسبية, ويمكنك في أحيان أخرى إعادة كتابة الكسرين باستعمال المضاعف المشترك الاصغر لمقامهما, ثم المقارنة بين بسطي الكسر.
كما ويمكنك ايضاً المقارنة بين الاعداد النسبية وترتيبها بالتعبير عنها بكسور عشرية.

مثال: ضع اشارة < أو > أو = لتكون الجملة صحيحة:
`(٢)/(٣)` ___ `(٧)/(٩)`
نقوم بتوحيد المقامات, ونضرب الكسر الاول بـ٣ ليصبح `(٦)/(٩)` وبمقارنة البسط في كل كسر, يكون الكسر الثاني هو الاكبر.

٠,٧٥ ___ `(١١)/(١٥)`
نقوم بتحويل العدد النسبي الى كسر عشري, ويصبح ٠,٧٣٣٣٣... رقم دوري, ومنه ٠,٧٥ هو الاكبر.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ضرب الاعداد النسبية

كل التطبيقات على الاعداد النسبية درسناها سابقاً ولكن على الكسور, وهي نفسها.
ضرب الاعداد النسبية سهل جداً, حيث سنقوم بضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام, مع الانتباه الى اشارة العددين.
في حال كان العددين موجبين الناتج موجب, وفي حال كان العددين سالبين الناتج موجب, وفي حال الاختلاف بالاشارة الناتج سالب.

مثال: أوجد ناتج الضرب بابسط صورة:
`(٤)/(٥)` x `(٣)/(٨)` = `(١٢)/(٤٠)` = `(٣)/(١٠)`

-`(١)/(٨)` x `(٤)/(٩)` = -`(٤)/(٧٢)` = -`(١)/(١٨)`

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

قسمة الاعداد النسبية

اذا كان ناتج ضرب عددين يساوي ١ فإن كلاهما يسمى النظير الضربي او مقلوب العدد, مثل ٥ مقلوبه او نظيره هو `(١)/(٥)`, عند ضرب الرقمين ببعض, ٥ x `(١)/(٥)` = ١.

لقسمة الاعداد النسبية نقوم بالضرب بالنظير الضربي للمقسوم عليه, وهذه بعض الامثلة:

مثال: اوجد ناتج القسمة بابسط صورة:
`(٢)/(٣)`÷`(٣)/(٤)`
نقوم بالضرب بمقلوب المقسوم عليه.
`(٢)/(٣)` x `(٤)/(٣)` = `(٨)/(٩)`

`(٨)/(٩)` ÷ (-٣)
نضرب بمقلوب الـ -٣
`(٨)/(٩)` x -`(١)/(٣)` = -`(٨)/(٢٧)`

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

جمع الاعداد النسبية ذات المقامات المتشابهة وطرحها

بما أن المقامات متشابهة سنقوم بجمع وطرح البسط من كل كسر بشكل مباشر مع بقاء المقام نفسه, كما تعلمنا سابقاً في جمع وطرح الكسور.
لجمع وطرح الاعداد الكسرية: نجمع أو نطرح الاعداد الصحيحة ثم الكسور ذات المقامات المتشابهة كل منهم على حدة.

مثال: اوجد ناتج كل مما يلي:
-`(٤)/(٥)` + `(٢)/(٥)` = -`(٢)/(٥)`

`(٤)/(٩)`٥ - `(٢)/(٩)`٢
نطرح الاعداد الصحيحة ٥ - ٢=٣
نطرح الكسور `(٤)/(٩)` - `(٢)/(٩)` = `(٢)/(٩)`
ومنه الناتج `(٢)/(٩)`٣

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

جمع الاعداد النسبية ذات المقامات المختلفة وطرحها

لجمع وطرح الاعداد النسبية ذات المقامات المختلفة, سنقوم بتوحيد المقامات, وذلك بايجاد المضاعتف المشترك الاصغر للمقامات ثم القيام بعملية الجمع والطرح كما تعلمنا في الاعلى.

مثال: اوجد ناتج كل مما يلي:
`(٣)/(٤)` - `(١)/(٦)`
المضاعف المشترك الاصغر للمقامين هو ١٢, سنضرب الكسر الاول بـ٣ والثاني بـ٢ ثم نطرح
`(٩)/(١٢)` - `(٢)/(١٢)` = `(٧)/(١٢)`

`(٢)/(٥)`٣ + `(٥)/(٦)`١
نحول العددين الكسريين الى اعداد نسبية ثم نقوم بتوحيد المقامات ثم الجمع.
`(١٧)/(٥)` + `(١١)/(٦)`
المضاعف المشترك الاصغر للمقامين هو ٣٠, سنضرب الكسر الاول بـ٦ والثاني بـ٥ ثم نجمع.
`(١٠٢)/(٣٠)` + `(٥٥)/(٣٠)` = `(١٥٧)/(٣٠)`

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

القوى والاسس

يُعبر عن ناتج ضرب عوامل متكررة بالقوى, وهو ضرب العدد بنفسه.
من الممكن ان تكون الاسس سالبة, فمثلاً قوى ١٠ هي ناتج قسمة متكرر ويكون `(١)/(١٠٠)`

أي عدد غير الصفر مرفوع للأس صفر يساوي ١, وأي عدد غير الصفر مرفوع للأس السالب (ن) هو النظير الضربي للعدد نفسه مرفوعاً للأس (ن).

مثال: أوجد قيمة كل عبارة مما يلي:
٦٢ = ٢ x ٢ x ٢ x ٢ x ٢ x ٢=٦٤

٦ = `(١)/(٦)`x`(١)/(٦)`x`(١)/(٦)`=`(١)/(٢١٦)`

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

الصيغة العلمية

الصيغة العلمية: هي طريقة مختصرة لكتابة الاعداد التي قيمتها المطلقة كبيرة جداً أو صغيرة جداً, مثل اريد كتابة ٩ بليون, سأكتب ٩ x ٩١٠

اذا ضُرب العدد في احدى القوى الموجبة للعدد ١٠ فإن الفاصلة تتحرك إلى اليمين.
إذا ضُرب العدد في احدى القوى السالبة للعدد ١٠ فإن الفاصلة تتحرك الى اليسار.
عدد المنازل التي تتحرك فيها الفاصلة العشرية هي القيمة المطلقة للأس.

أما لكتابة العدد بالصيغة العلمية, اتبع الخطوات التالية:
١-حرك الفاصلة العشرية ليكون موقعها عن يمين اول منزلة غير صفرية من اليسار.
٢-عد المنازل التي حركت فيها الفاصلة العشرية.
٣-أوجد قوة العدد ١٠, فإذا كانت القيمة المطلقة للعدد الاصلي بين الصفر والواحد فإن الأس يكون سالباً, وبغير ذلك يكون موجباً.

مثال: اكتب كلاً من الاعداد التالية بالصورة القياسية:
٣,١٦ x ٣١٠
نقوم بتحريك الفاصلة ثلاث مرات لليمين.
٣١٦٠

١,١ x ١٠
نقوم بتحريك الفاصلة اربع مرات لليسار.
٠,٠٠٠١١

مثال: اكتب كلاً من الاعداد التالية بالصيغة العلمية:
٤٣٠٠٠ = ٤,٣ x ٤١٠

٠,٠٣٧ = ٣,٧ x ١٠